Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 5271
  • Data: 14/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Parabola e fascio proprio di rette

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Per questo problema si useranno equazioni semplici, per far si che vengano calcoli altrettanto facili e comprensibili.

Qualora altri problemi, dello stesso tipo, presentassero calcoli più complessi, non temete: il procedimento rimane tale e quale, e nell'equazione finale molti termini probabilmente si semplificano.


Data la parabola di equazione $y=x^2+1$

trovare la retta del fascio con centro nell'origine, che intersechi la parabola formando una corda di lunghezza $sqrt6$


Intanto identifichiamo l'equazione del fascio con centro nell'origine. E' noto che essa è $y=mx$

Intersecando la parabola con il fascio, troveremo delle soluzioni (coordinate dei punti) dipendenti dal parametro $m$

${(y=x^2+1),(y=mx):}$

Procedendo per confronto, otterremo

$x^2+1=mx$

$x^2-mx+1=0$

risolvendo rispetto a x

$x=(m+sqrt(m^2-4))/4$

e

$x=(m-sqrt(m^2-4))/4$

Queste sono le ascisse dei due punti.

A questo punto, non serve trovare le ordinate, perchè possiamo usare un'utile formula pre la distanza, che è

$d=|x_1-x_2|*sqrt(1+m^2)$

In questo caso, le ascisse ci sono note (le abbiamo ricavate dal sistema) e il coefficiente angolare della retta cui appartengono è $m$ (appartengono a una retta variabile, con appunto coefficiente m)

La distanza imposta è $sqrt6$

Procediamo

$sqrt6=|(m+sqrt(m^2-4))/4-(m-sqrt(m^2-4))/4|*sqrt(1+m^2)$

che dopo qualche banale calcolo, e una quadratura, restituisce

$m^4-3m^2-28=0$

ponendo $m^2=t$ con $t>=0$ perchè è un quadrato

$t^2-3t-28=0$

che ha per soluzioni

$t=-4$

$t=7$

la prima è da scartare, la seconda ci porta a dire che

$m=+sqrt7$ e $m=-sqrt7$

Sostituendo tali valori nel fascio inziale $y=mx$ si finisce il problema

FINE