Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 6166
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d\'intersezione

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d'intersezione della
retta $x-3y-1=0$ con la retta $x+2=0$ e della retta $x-2y=0$ con la retta $x-2=0$.


Svolgimento
Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette: $x-3y-1=0$ e $x+2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-3y-1=0),(x+2=0):}$;
$\{(-2-3y-1=0),(x=-2):}$;
$\{(3y=-3),(x=-2):} => \{(y=-1),(x=-2):}$.
Pertanto il punto d'intersezione sarà $A(-2;-1)$.

Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette: $x-2y=0$ e $x-2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-2y=0),(x-2=0):}$;
$\{(2-2y=0),(x=2):}$;
$\{(2y=2),(x=2):} => \{(y=1),(x=2):}$.
Pertanto il punto d'intersezione sarà $B(2;1)$.

La distanza tra $A$ e $B$ quindi, sarà il diametro della circonferenza da determinare
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((2+2)^2+(1+1)^2)=sqrt(4^2+(2)^2)=sqrt(16+4)=sqrt(20)=2sqrt5$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $\bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(\bar{AB})/2=(2sqrt5)/2=sqrt5$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $\bar{AB}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(-2;-1), B(2;1)$ si ha
$x_M=(2-2)/2=0 ^^ y_M=(1-1)/2=0$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(0;0)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro $C(0;0)$ e raggio $sqrt5$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l'equazione della circonferenza con centro nell'origine e di raggio $sqrt5$, sarà:
$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$x^2+y^2=5$;
$x^2+y^2-5=0$
Quest'ultima rappresentano l'equazione della circonferenza avente gli estremi di un diametro nei punti d'intersezione della
retta $x-3y-1=0$ con la retta $x+2=0$ e della retta $x-2y=0$ con la retta $x-2=0$.