Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-3;1), B(5;-2

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-3;1), B(5;-2)$.



Svolgimento
Calcoliamo la  misura del diametro
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{AB}=sqrt((5+3)^2+(-2-1)^2)=sqrt(8^2+(-3)^2)=sqrt(64+9)=sqrt(73)$.
Il diametro della circonferenza è uguale al doppio del suo raggio, cioè $\bar{AB}=2r$.
Pertanto $r=(\bar{AB})/2=(sqrt(73))/2$.
Per individuare il centro di tale circonferenza, basta individuare il punto medio del segmento $\bar{AB}$.

Le coordinate del punto medio di un segmento sono le semisomme (medie aritmetiche)
delle coordinate omonime degli estremi.
Quindi indichiamo con $M$ il punto medio del segmento $\bar{AB}$, le sue coordinate saranno (x_M;y_M),
dove
$x_M=(x_2+x_1)/2 ^^ y_M=(y_2+y_1)/2$.
Pertanto presi  $A(-3;1), B(5;-2)$ si ha
$x_M=(5-3)/2=2/2=1 ^^ y_M=(-2+1)/2=-1/2$.
Quindi il punto medio del segmento $\bar{AB}$ sarà $M(1;-1/2)$.
Quindi $c=M(1:-1/2)$.
Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro $C(1;-1/2)$ e raggio $(sqrt(73))/2$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.

In formule, l'equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-1)^2+(y+1/2)^2=((sqrt(73))/2)^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+1-2x+y^2+1/4+y=(73)/4$;
Il m.c.m. è $4$
$(4x^2+4y^2-8x+4y+4+1-73)/4=0$
moltiplicando ambo i membri per $4$
$4x^2+4y^2-8x+4y-68=0$
Dividendo ambo i membri ancora per $4$
$x^2+y^2-2x+y-17=0$
quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento di estremi $A(-3;1), B(5;-2)$.