Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 3471
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.



Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-0)/(0-0)!=(0)/(5-0) => -3/0!=0$.

Essendo vera la relazione $-3/0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(0;0) in \delta => 0^2+0^2+(\alpha)*0+(\beta)*0+\gamma=0 => \gamma=0$.
$B(5;0) in \delta => 5^2+0^2+(\alpha)*5+(\beta)*0+\gamma=0 => 5(\alpha)+\gamma+25=0$.
$C(0;-3) in \delta => 0^2+(-3)^2+(\alpha)*0+(\beta)*(-3)+\gamma=0 => -3(\beta)+\gamma+9=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(-3(\beta)+\gamma+9=0),(5(\alpha)+\gamma+25=0),(\gamma=0):}$;
$\{(-3(\beta)=-9),(5(\alpha)=-25),(\gamma=0):}$;
$\{((\beta)=3),((\alpha)=-5),(\gamma=0):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha:
$x^2+y^2-5x+3y=0$

Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.