Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza passante per i punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$.



Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(-1-0)/(1-0)!=(0+2)/(0+2) => -1!=1$.

Essendo vera la relazione $-1!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(-2;0) in \delta => (-2)^2+0^2+(\alpha)*(-2)+(\beta)*0+\gamma=0 => 4-2\alfa+\gamma=0$.
$B(0;1) in \delta => 0^2+1^2+(\alpha)*0+(\beta)*1+\gamma=0 => 1+\beta+\gamma=0$.
$C(0;-1) in \delta => 0^2+(-1)^2+(\alpha)*0+(\beta)*(-1)+\gamma=0 => 1-\beta+\gamma=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(4-2\alfa+\gamma=0),(1+\beta+\gamma=0),(1-\beta+\gamma=0):}$;
$\{(alfa=(4+\gamma)/2),(\gamma=-1-\beta),(1-\beta-1-\beta=0):}$;
$\{(alfa=(4-1)/2=3/2),(\gamma=-1-0=-1),(2\beta=0 => \beta=0):}$;

Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha:
$x^2+y^2+3/2x-1=0$
Il m.c.m. è $2$
$(2x^2+2y^2+3x-2)/2=0$
moltiplichiamo ambo i membri per $2$
$2x^2+2y^2+3x-2=0$
Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti $(-2;0), (0;1), (0;-1)$.