Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 10433
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.



Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-3)/(-1+3)!=(1+3)/(1+3) => 0!=1$.

Essendo vera la relazione $0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $\delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(-3;3) in \delta => (-3)^2+3^2+(\alpha)*(-3)+(\beta)*3+\gamma=0 => 9+9-3\alfa+3\beta+\gamma=0 => 3\beta-3\alfa+\gamma+18=0$.
$B(1;-1) in \delta => 1^2+(-1)^2+(\alpha)*1+(\beta)*(-1)+\gamma=0 => (\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0$.
$C(1;3) in \delta => 1^2+3^2+(\alpha)*1+(\beta)*3+\gamma=0 => (\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0$.

Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
$\{(3\beta-3\alfa+\gamma+18=0),((\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0),((\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0):}$;
$\{(-3\beta+3\alfa-18=\gamma),((\alpha)-(\beta)-3\beta+3\alfa-18+2=0),((\alpha)+3(\beta)-3\beta+3\alfa-18+10=0):}$;
$\{(-3\beta+3\alfa-18=\gamma),(4(\alpha)-4(\beta)-16=0),(4(\alpha)=8):}$;
$\{(-3\beta+3*2-18=\gamma),(4*2-4(\beta)-16=0),(\alpha=2):}$;
$\{(-3\beta-12=\gamma),(4(\beta)=-8),(\alpha=2):}$;
$\{(\gamma=-3*(-2)-12=-6),(\beta=-2),(\alpha=2):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha:
$x^2+y^2+2x-2y-6=0$

Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.