Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
  • Visto: 8510
  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Scrivere l\'equazione della circonferenza passante per $O(0;0)$ e con il centro nel punto di intersez

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Scrivere l'equazione della circonferenza passante per $O(0;0)$ e con il centro nel punto di intersezione
delle rette $2x-y-1=0$ e $x+y-5=0$.


Svolgimento

Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette: $x-3y-1=0$ e $x+2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(2x-y-1=0),(x+y-5=0):}$;
$\{(2(5-y)-y-1=0),(x=5-y):}$;
$\{(10-2y-y-1=0),(x=5-y):}$;
$\{(3y=9),(x=5-y):}$;
$\{(y=3),(x=5-3=2):}$;
Pertanto il punto d'intersezione sarà $A(2;3)$.

Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette: $x-2y=0$ e $x-2=0$
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:

$\{(x-2y=0),(x-2=0):}$;
$\{(2-2y=0),(x=2):}$;
$\{(2y=2),(x=2):} => \{(y=1),(x=2):}$.
Pertanto il punto d'intersezione sarà $C(2;1)$.

Quindi il centro della circonferenza richiesta sarà $c(2:1)$.
Calcoliamo, ora, il raggio della circonferenza di centro $C(2;1)$ e passante per l'origine, ovvero la distanza di $C$ da $O$.
La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze
delle coordinate omonime dei due punti, in formule:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$.
Quindi
$\bar{CO}=sqrt((0-2)^2+(0-3)^2)=sqrt((-2)^2+(-3)^2)=sqrt(4+9)=sqrt(13)$.
Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro $C(2;1)$ e raggio $sqrt(13)$.

La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio.
In formule, l'equazione della circonferenza di centro $(x_0;y_0)$ e di raggio $r$, sarà:
$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo:
$(x-2)^2+(y-3)^2=(sqrt(13))^2$;
Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili
$x^2+4-4x+y^2+9-6y=13$;
$x^2+y^2-4x-6y=0$
quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per $O(0;0)$ e con il centro nel punto di intersezione
delle rette $2x-y-1=0$ e $x+y-5=0$.