Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 12/11/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Si considerino i punti $A(2;-2)$ e $C(-8;3)$ .Determinare il punto B appartenente al segmento...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si considerino i punti $A(2;-2)$ e $C(-8;3)$ .Determinare il punto B appartenente al segmento $\bar{AC}$ tale che si abbia $(\bar{AB})/(\bar{BC})=3/2$

 

1° SOLUZIONE

La retta $AC$ ha equazione $x+2y+2=0$, ed è facilmente calcolabile da momento che abbiamo a disposizione due punti di passaggio.

Il punto $B$, trovandosi dunque su questa retta, ubbidisce alla sua equazione e possiamo dire che ha coordinate generiche $B=(x,(-2-x)/2)$

Il problema impone dun que

$(\bar{AB})/(\bar{BC})=3/2$

Ma sappiamo che, per la distanza tra due punti, possiamo scrivere

$\bar{AB}=sqrt((-x+2)^2+(-2-(-2-x)/2)^2)=sqrt(5/4)|2-x|$

$\bar{BC}=sqrt((x+8)^2+((-2-x)/2-3)^2)=sqrt(5/4)|x+8|$

La prima rappresenta il calcolo della distanza da $A$ a $B$, la seconda da $B$ a $C$

Per cui

$(\bar{AB})/(\bar{BC})=|2-x|/|x+8|=|(2-x)/(x+8)|=3/2$ col vincolo $-8<=x<=2$

Questo vincolo è necessario dal momento che i due estremi $A$ e $C$ sono fissati, e il punto $B$ si muove all'interno non potendo uscire.

L'espressione $|2-x|/|x+8|$ per $-8<=x<=2$ vale $(2-x)/(x+8)$ (si può discutere l'argomento e notare che proprio in quell'intervallo esso è positivo)

per cui l'equazione diventa:

$(2-x)/(x+8)=3/2$ da cui si ricava $x=-4$ ed $y=1$ per cui $B=(-4,1)$

 

2 SOLUZIONE

In realtà possiamo anche fornire una soluzione più geometrica.

Consideriamo questo schizzo.

prob.imag.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Siano (vedi fig.) (A',B',C') le proiezioni di A,B,C sull'asse x

e (A",B",C") quelle sull'asse y.

Per il teorema di Talete si ha:

$(\bar{C'B'})/(\bar{B'A'})=(\bar{AB})/(\bar{BC})$

ma poichè il rapporto tra $(\bar{AB})/(\bar{BC})$ vale $2/3$ per ipotesi, abbiamo

$(x+8)/(2-x)=2/3$ da cui risolvendo $x=-4$

Analogamente per l'asse y:

$(\bar{C''B''})/(\bar{B''A''})=(\bar{AB})/(\bar{BC})$ ovvero:

$(3-y)/(y+2)=2/3$ da cui risolvendo $y=1$

In definitiva $B(-4,1)$