Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 17/12/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Si scriva l\'equazione dell\'asse del segmento i cui estremi sono i punti $(a;2),(6;4)$.

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Si scriva l'equazione dell'asse del segmento i cui estremi sono i punti $(a;2),(6;4)$.
Si determini poi $a$ in modo che il punto $(2;3)$ appartenga a tale asse.



Svolgimento
Indichiamo con $A$ il punto di coordinate $(a;2)$ e con $B$ quello di coordinate $(6;4)$

L'asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento $\bar{AB}$;
cioè $P$ è un puno dell'asse di $\bar{AB}$, se e solo se si ha:
$\bar{AP}=\bar{PB}$.
Indichiamo con (x,y) le coordinate del generico punto e ricordando la formula della
distanza tra due punti nel piano cartesiano:
$d=sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)$
La relazione
$\bar{AP}=\bar{PB}$
la possiamo riscrivere nel seguente modo:
$sqrt((x-a)^2+(y-2)^2)=sqrt((x-6)^2+(y-4)^2)$
Elevando al quadrato ambo i membri dell'equazione, sviluppando i calcoli e semplificando si ha:
$(x-a)^2+(y-2)^2=(x-6)^2+(y-4)^2$;
$x^2+a^2+2ax+y^2-4y+4=x^2+36-12x+y^2+16-8y$;
$12x-2ax+4y-48+a^2=0$.
$2x(6-a)+4y-48+a^2=0$
Quest'ultima rappresenta l'equazione dell'asse di $\bar{AB}$:

Indicando con $C$ il punto di coordinate $(2;3)$, dobbiamo verificare per quali valori di $a$
il punto appartiene all'asse, ovvero per quali valori di $a$ le sue coordinate soddisfano l'equazione
$2x(6-a)+4y-48+a^2=0$.
Sostituendo in tale equazione: $x=2 ^^ y=3$, otteniamo
$2*2(6-a)+(4+3)-48+a^2=0$;
$4(6-a)+12-48+a^2=0$;
$24-4a+12-48+a^2=0$;
Semplificando
$a^2-4a-12=0$
Risolviamo l'equazione di secondo grado:

$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(1*(-12))=4+12=16$
$a_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-sqrt(16))=2+-4 => a_1=6 vv a_2=-2$.

Quindi l'equazione è verificata per $a_1=6 vv a_2=-2$.