Geometria analitica

  • Materia: Geometria analitica
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  • Data: 12/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studio di fasci di rette

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Si studino i seguenti fasci di rette

$(k+1)x+(2k-1)y+k+2=0$

$(k-3)x-(2k-6)y+k=0$


Per prima cosa c'è da stabilire se si tratta di un fascio proprio o improprio.

Si ricorda che un fascio si dice proprio se le rette che lo compongono condividono il passaggio per un punto, chiamato centro del fascio.

Se il fascio è improprio, le rette sono parallele tra loro, condiviono quindi il coefficiente angolare, che è uguale per tutte.

Quindi, per stabilire la natura del fascio, occorre osservare se il coefficiente angolare (dato dal rapporto $-a/b$) dipende o meno dal parametro k: se dipende, allora non è fisso, ogni retta ha il proprio, quindi non sono parallele (fascio proprio). Se al contrario il valore del coefficiente è numerico, indipendente da k (quindi fisso), ne deduciamo appartiene a TUTTE le rette, che quindi sono parallele.

Il primo fascio risulta essere proprio perchè

$-a/b=(-(k+1))/(2k-1)=(-k-1)/(2k-1)$ dipende da k

il secondo

$-a/b=(-(k-3))/(2k-6)=(-(k-3))/(2(k-3))=-1/2$ NON dipende da k

Continuiamo a studiare il fascio proprio, svolgiamo le parentesi

$kx+x+2ky-y+k+2=0$

raccogliamo k

$k(x+2y+1)+x-y+2=0$

Se $k=0$ otteniamo la retta $x-y+2=0$

Al contrario, la retta tra parentesi $x+2y+1=0$ non potrà mai essere ottenuta: infatti dovrebbero annullarsi tutti i termini fuori dalla parentesi, ma il parametro k non può in alcun modo annullarli, come invece ha fatto con la parentesi (caso $k=0$).

Questa retta è chiamate "retta critica", è le rette che le sono molto vicine hanno un parametro k enorme.

In generale, si dice che quella retta ha k infinito $k=oo$ perchè per valori enormi, i termini fuori dalle parentesi sono in confronto piccoli, quasi insignificanti, ma non arrivano a essere nulli del tutto.

In conclusione, le rette

$x-y+2=0$

$x+2y+1$

sono dette "rette generatrici del fascio".

FINE