Geometria biennio superiori

  • Materia: Geometria biennio superiori
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  • Data: 12/04/2008
  • Di: Redazione StudentVille.it

Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $B$, la bisettrice dell\'angolo $\\hat{A}$ interseca $BC$...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Nel triangolo $ABC$ rettangolo in $B$, la bisettrice dell'angolo $\hat{A}$ interseca $BC$ nel punto $D$ distante $3$ da $B$ e $5$ da $C$.
Sul prolungamento di $AD$ si prende dalla parte di $D$ il punto $E$ distante $25$ da $C$
Sapendo che la perpendicolare in $C$ ad $AC$ è bisettrice dell'angolo $hat{DCE}$, determina il perimetro del triangolo $CDE$.Image

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Si pone $\bar{AB}=x$: essendo $\bar{BC}=\bar{BD}+\bar{CD}=3+5=8$ si ha, per il Teorema di Pitagora, che $\bar{AC}=\sqrt{64+x^2}$.


E' chiaro ed evidente che i triangoli $ABD$ e $ACF$ sono simili e il triangolo $CDF$ è isoscele su $DF$, ragione per cui vale la seguente proporzione: $\bar{CF} : \bar{BD} = \bar{AC} : \bar{AB}$.


Dalla predetta proporzione segue che $5 : 3 = \sqrt{64 + x^2} : x => 3*\sqrt{64+x^2}=5x => x=6$. Dunque, $\bar{AB}=6$ e, conseguentemente, $\bar{AC}=10$.
Con il Teorema di Pitagora nei triangoli rettangoli $ABD$ e $ACF$ si trova che $\bar{AD}=3\sqrt{5}$ e $\bar{AF}=5\sqrt{5}$: da ciò segue che $\bar{DF}=2\sqrt{5}$.
Con il Teorema della bisettrice dell'angolo interno, applicato al triangolo $CDE$ si trova che $\bar{EF}=10\sqrt{5}$.
Finalmente, $2p(CDE)=\bar{CD} + \bar{CE} + \bar{DE}= 5 + 25 + (10\sqrt{5} + 2\sqrt{5})=30 + 12\sqrt{5}$.

FINE