Sia $hat{ABC}$ un triangolo qualsiasi, prolunghiamo $bar(AC)$ e su di essa

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Sia $hat{ABC}$ un triangolo qualsiasi, prolunghiamo $bar(AC)$ e su di essa

Materia: Geometria biennio superiori Visualizzato: 2065 volte Scaricato: 0 volte Data: 18/10/2009

Sia $hat{ABC}$ un triangolo qualsiasi, prolunghiamo $bar(AC)$ e su di essa

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesco Speciale

Sia $hat{ABC}$ un triangolo qualsiasi, prolunghiamo $bar(AC)$ e su di essa
consideriamo $D$ tale che $bar(CD)~=bar(CB)$; prolunghiamo anche $bar(CB)$
e su di essa consideriamo $E$ tale che $bar(CE)~=bar(CA)$.
Le rette $DE$ e $AB$ si incontrano in $F$. Dimostrare che $hat{DFB}$ è isoscele.

Ipotesi
$bar(CD)~=bar(CB)$
$bar(CE)~=bar(CA)$

Dimostrazione
sappiamo che $ChatDB~=ChatBD$ perchè è isoscele il triangolo $hat{CDB}$.
Inoltre $hat{ECD}~=hat{ACB}$ per il primo criterio di uguaglianza, infatti
$bar(EC)~=bar(AC)$        per ipotesi
$bar(CD)~=bar(CB)$        per ipotesi
$EhatCD~=AhatCB$          perchè opposti al vertice

Di conseguenza $EhatDC~=AhatBC$.
Si può concludere che $FhatDB~=FhatBD$, perchè somma di angoli congruenti, precisamente
$FhatDB=FhatDC+ChatDB$ e $FhatBD=FhatBE+EhatBD$,
con $FhatDC=FhatBE$ e $ChatDB=EhatBD$; e quindi poichè un triangolo che ha due angoli uguali
ha anche uguali i lati opposti a questi è isoscele, concludiamo che $hat{DFB}$ è isoscele.