Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 11/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int_{-\\infty}^{+\\infty} e^{-x^2} dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare la convergenza del seguente integrale

 

 $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (1)

 

Dato che $\lim_{x \to \pm \infty} e^{-x^2} = 0$ la condizione necessaria per la convergenza è verificata. La funzione integranda, definita e continua su tutto $\mathbb{R}$ è pari, pertanto (1) può essere riscritto come

 

$2 \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} dx = 2 (\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx + \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx)$

 

Nell'intervallo $[0,1]$ la funzione integranda è continua e limitata, pertanto

 

$\int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$

 

è un numero, di conseguenza (1) è convergente se e solo se converge

 

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (2)

 

Per $x \ge 1$ risulta $x^2 \ge x$, ovvero

 

$-x \ge -x^2$ (3)

 

Dato che l'esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente, dalla (3) si deduce che, sempre per $x \ge 1$

 

$e^{-x} \ge e^{-x^2}$

 

quindi

 

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx \ge \int_{1}^{+\infty} e^{-x^2} dx$ (4)

 

$\int_{1}^{+\infty} e^{-x} dx = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-x}) |_{1}^{t} = \lim_{t \to +\infty} (-e^{-t} + e^{-1}) = \frac{1}{e}$ (5)

 

Confrontando la (5) con la (4) si deduce che anche (2) converge, pertanto, per quanto detto in precedenza, l'integrale (1) è convergente.