Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 11/08/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare l'area dell'ellisse avente equazione cartesiana

 

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

 


L'area richiesta equivale a

 

 

$\int \int_{A} dxdy$

 

dove

 

$A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1\}$

 

Conviene passare in coordinate polari, ponendo

 

$\{(x = a \rho \cos(\theta)),(y = b \rho \sin(\theta)):}$

 

con $\rho \in [0, +\infty)$ e $\theta \in [0, 2 \pi]$. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è

 

$J(\rho, \theta) = [(\frac{\partial}{\partial \rho} x, \frac{\partial}{\partial \theta} x),(\frac{\partial}{\partial \rho} y, \frac{\partial}{\partial \theta} y)] = [(a \cos(\theta), -a \rho \sin(\theta)),(b \sin(\theta), b \rho \cos(\theta))]$

 

Il determinante della matrice Jacobiana vale

 

$\det(J(\rho, \theta)) = ab \rho \cos^2(\theta)  + ab \rho \sin^2(\theta) = ab \rho$

 

pertanto

 

$dxdy = |ab \rho| d \rho d \theta = ab \rho d \rho d \theta$

 

Imponendo la condizione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \le 1$ si ottiene

 

$\rho^2 \cos^2(\theta) + \rho^2 \sin^2(\theta) \le 1 \implies \rho \in [0, 1]$

 

Pertanto l'area dell'ellisse vale

 

 $\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} ab \rho d \rho d \theta = \frac{ab}{2} \int_{0}^{2 \pi} [\rho^2]_{0}^{1} d \theta = \frac{ab}{2} \int_{0}^{2 \pi} d \theta = \frac{ab}{2} \cdot 2 \pi = ab \pi$

 

FINE