Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 17/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int_{1}^{2} \\frac{x+1}{\\sin(\\sqrt{(2-x)^{\\alpha}}) \\cdot \\ln(\\sqrt{3-x})} dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Stabilire per quali $\alpha \in \mathbb{R}$ il seguente integrale converge:
$\int_{1}^{2} \frac{x+1}{\sin(\sqrt{(2-x)^{\alpha}}) \cdot \ln(\sqrt{3-x})} dx$ (1)

Ponendo $t = 2 - x$, da cui $-dt = dx$, e osservando che $x = 1 \implies t = 1$, $x = 2 \implies t = 0$, l'integrale (1) diventa
$-\int_{1}^{0} \frac{3-t}{\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) \cdot \ln(\sqrt{1+t})}dt = \int_{0}^{1} \frac{3-t}{\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) \cdot \ln(\sqrt{1+t})}dt$ (2)
Per $0 < t < 1$ risulta $1 + t > 0$, pertanto $\ln(\sqrt{1 + t}) = \ln(1 + t)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \ln(1 + t)$, e inoltre $\sin(\sqrt{t^{\alpha}}) = \sin(t^{\frac{\alpha}{2}})$. Quindi (2) equivale a
$\int_{0}^{1} \frac{2(3 - t)}{\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) \ln(1+t)} dt$
L'integrale è improprio in $t=0$; per $t \to 0$ risulta
$\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) \approx t^{\frac{\alpha}{2}} \quad \quad \ln(1 + t) \approx t$
Dato che
$\lim_{t \to 0} \frac{\frac{2(3 - t)}{\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) \ln(1 + t)}}{\frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2}} t}} = \lim_{t \to 0} 2 (3 - t) \cdot \frac{t^{\frac{\alpha}{2}}}{\sin(t^{\frac{\alpha}{2}})} \cdot \frac{t}{\ln(1 + t)} = 6$
allora $\frac{2 (3 - t)}{\sin(t^{\frac{\alpha}{2}}) \ln(1 + t)} ~ \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2}} t} = \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2} + 1}}$, pertanto (1) converge se e solo se converge
$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{\frac{\alpha}{2} + 1}} dt$
Tale integrale converge solo se $\frac{\alpha}{2} + 1 < 1 \implies \alpha < 0$, pertanto l'integrale (1) converge per
$\alpha \in (-\infty, 0)$
FINE