Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 17/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int_{1}^{2} x^2 (3 - \\frac{1}{x} \\sin(x^2)) dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare:

 

$\int_{1}^{2} x^2 (3 - \frac{1}{x} \sin(x^2)) dx$


La funzione integranda, definita per $x \ne 0$, è continua nel suo dominio, perché ottenuta per composizione di funzioni continue. Dato che $0 \notin [1,2]$ la funzione $x^2(3 - \frac{1}{x} \sin(x^2))$ è integrabile in $[1, 2]$, e risulta
$\int_{1}^{2} x^2  (3 - \frac{1}{x} \sin(x^2)) dx = \int_{1}^{2} (3x^2 - x \sin(x^2))dx = \int_{1}^{2}3x^2 dx - \int_{1}^{2} x \sin(x^2)dx$
$\int_{1}^{2} 3x^2 = x^3|_{1}^{2} = 8 - 1 = 7$
$\int_{1}^{2} x \sin(x^2)dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} 2x \sin(x^2) dx = -\frac{1}{2} \cos(x^2)|_{1}{2} = -\frac{1}{2} (\cos(4) - \cos(1))$
Pertanto
$\int_{1}^{2} x^2 (3 - \frac{1}{x} \sin(x^2)) dx = 7 - (-\frac{1}{2} (\cos(4) - \cos(1))) = 7 + \frac{1}{2} \cos(4) - \frac{1}{2} \cos(1)$
FINE