$\\int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

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$\\int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Materia: Integrali Visualizzato: 2375 volte Scaricato: 0 volte Data: 26/06/2008

$\\int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare
$\int_{2/pi}^{infty} (1/x^3)*sen(1/x)dx$

Calcoliamo una primitiva.
Poniamo $1/x=t$, cioè $x=1/t$, da cui $dx=-dt/t^2$ dal momento in cui $D(1/t)=-1/t^2$
Andando a sostituire, ottieniamo
$\int (1/x^3)*sen(1/x)dx=\int -(t^3)*sent*(dt)/t^2=\int -t*sentdt$.

Procediamo ora per parti.
Si ottiene facilmente
$\int -t*sentdt=tcost-\int costdt=tcost-sint$.
Gli estremi di integrazione adesso sono $1/(2/pi)=pi/2$ e $1/(+oo)=0$, per cui il risultato si ottiene calcolando
$0*cos(0) -sin0 -[pi/2cos(pi/2)-sin(pi/2)]=sin(pi/2)=1$.

FINE