Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 13/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int \\frac{1}{(1+x^2)^2}dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare il seguente integrale indefinito:

 

$\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx$

 


Ponendo $t = "arctg"(x)$ si ottiene $dt = \frac{1}{1+x^2}dx$ e $x = "tg"(t)$, e l'integrale di partenza si può riscrivere come

 

 $\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \int \frac{1}{1+"tg"^2(t)}dt = \int \frac{1 + "tg"^2(t) - "tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt = \int dt - \int \frac{"tg"^2(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt = $

$ = t - \frac{1}{2} \int "tg"(t) \frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)}dt$ (1)

 

Ricordando la relazione $"tg"(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, e ricordando che secondo le formule parametriche vale

 

$\frac{2 "tg"(t)}{1 + "tg"^2(t)} = \sin(2t)$ (2)

 

(1) si può riscrivere come

 

$t - \frac{1}{2} \int \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \sin(2t) dt = t - \int \frac{1}{2} \frac{\sin(t)}{\cos(t)} 2 \sin(t) \cos(t) dt = $

$ = t - \int \sin^2(t) dt = t - \int (\frac{1}{2} - \frac{\cos(2t)}{2}) dt = t - \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4} = \frac{t}{2} + \frac{\sin(2t)}{4}$ (3)

 

Vista la sostituzione fatta in precedenza, $t = "arctg"(x)$, (3) si può riscrivere così:

 

$\frac{"arctg"(x)}{2} + \frac{\sin(2 "arctg"(x))}{4}

 

Ricordando la formula (2) il risultato precedente si può scrivere nel seguente modo

 

$\frac{"arctg"(x)}{2} + \frac{1}{4} \frac{2 "tg"("arctg"(x))}{1 + "tg"^2("arctg"(x))}$

 

Ricordando l'identità $"tg"("arctg"(x))  = x$, valida $\forall x \in \mathbb{R}$, il risutato dell'integrale è

 

 $\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \frac{"arctg"(x)}{2} + \frac{1}{2} \frac{x}{1+x^2}$

 

FINE