Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 24/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int_{-\\infty}^{+\\infty} (\\frac{\\sin(x)}{x})^3 dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx$

 


La funzione integranda è prolungabile per contiinuità in $x=0$, dato che

 

$\lim_{x \to 0^{-}} (\frac{\sin(x)}{x})^3 = \lim_{x \to 0^{+}} (\frac{\sin(x)}{x})^3 = 1$

 

Dato che tale funzione è pari l'integrale di partenza può anche essere riscritto in questa forma

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx = 2  \int_{0}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx$

 

Dunque l'integrale di partenza converge se e solo se risulta convergente

 

$\int_{0}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx$

 

Per prima cosa si nota che la condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, dato che

 

$\lim_{x \to +\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 = 0$

 

Si consideri la funzione

 

$f(x) = \{(1, "se " 0 \le x \le 1),(\frac{1}{x^3}, "se " x > 1):}$

 

Per $x > 1$ si nota che

 

$\frac{1}{x^3} - |\frac{\sin^3(x)}{x^3}| = \frac{1 - |\sin^3(x)|}{x^3} \ge 0$

 

ovvero

 

$\frac{1}{x^3} \ge (\frac{|\sin(x)|}{x})^3$ (1)

 

dato che il seno è una funzione limitata fra $-1$ e $1$. La derivata prima di $(\frac{\sin(x)}{x})^3$ vale

 

$3 (\frac{\sin(x)}{x})^2 \frac{x \cos(x) - \sin(x)}{x^2} = 3 \cos(x) (\frac{\sin(x)}{x})^2 \frac{x - "tg"(x)}{x^2}$

 

Per $0 < x < 1$ (in cui vale $|\sin(x)| = \sin(x)$) risulta

 

$\cos(x) > 0$

 

$(\frac{\sin(x)}{x})^2 > 0$ perché un quadrato non è mai negativo

 

Dallo sviluppo in serie di Taylor della tangente si nota che per $0 < x < 1$ risulta

 

$"tg"(x) > x$

 

Dunque la derivata prima di  $(\frac{|\sin(x)|}{x})^3$ per $0 < x < 1$ è sempre negativa, quindi, considerato che in tale intervallo la funzione è monotona descrescente, e considerando che per $x \to 0$ risulta $(\frac{\sin(x)}{x})^3 \to 1$, si può concludere che

 

$1 \ge  (\frac{|\sin(x)|}{x})^3$ per $x \in (0,1)$ (2)

 

Confrontando (1) e (2) si nota che

 

$f(x) \ge (\frac{|\sin(x)|}{x})^3$per $x > 0$

 

dunque, se

 

$\int_{0}^{+\infty} f(x) dx$

 

converge, allora converge anche

 

$\int_{0}^{+\infty} (\frac{|\sin(x)|}{x})^3 dx$

 

per il criterio del confronto, di conseguenza risulta pure convergente

 

$\int_{0}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx$

 

per via del criterio della convergenza assoluta. 

 

$\int_{0}^{+\infty} f(x) dx = \int_{0}^{1} dx + \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx = 1 - \frac{1}{2} [\frac{1}{x^2}]_{1}^{+\infty} = 1 - \frac{1}{2} (-1) = \frac{3}{2}$

 

Dato che tale integrale converge, allora anche

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx = 2 \int_{0}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx$

 

converge. Per calcolare il valore dell'integrale iniziale conviene porre $x = \pi t$, da cui $dx = \pi dt$, ottenendo

 

$\pi \int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^3dt$

 

Siano $x(t)$ e $y(t)$ due funzioni trasformabili secondo Fourier, allora, per l'identità di Parseval, vale

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) y^{**}(t) dt = \int_{-\infty}^{+\infty} X(f) Y^{**}(f) df$

 

dove l'esponente $**$ indica l'operatore di coniugazione complessa, $X(f) = \mathcal{F}\{x(t)\}$, $Y(f) = \mathcal{F}\{y(t)\}$ e $\mathcal{F}\{\cdot\}$ indica l'operatore trasformata di Fourier.

L'integrale iniziale, sfruttando l'identità di Parseval, si può riscrivere così

 

$\pi \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin(\pi t)}{\pi t} (\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2 dt = \pi \int_{-\infty}^{+\infty} \mathcal{F}\{\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\} (\mathcal{F}\{(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2\})^{**} df$

 

Considerando che

 

$\mathcal{F}\{\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}\} = "rect"(f)$

 

$\mathcal{F}\{(\frac{\sin(\pi t)}{\pi t})^2\} = "tr"(f)$

 

dove

 

$"rect"(f) = \{(1, "se " |f| < \frac{1}{2}),(0, "altrimenti"):}$

 

$"tr"(f"") = \{(1 - |"f"|, "se " |"f"| < 1),(0, "altrimenti"):}$

 

l'inetgrale iniziale equivale a

 

$\pi \int_{-\infty}^{+\infty} "rect"(f) "tr"(f) df = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (1 - |f|) df =$

 $ = \pi \int_{-\frac{1}{2}}^{0} (1 + f)df + \pi \int_{0}^{\frac{1}{2}} (1 - f)df = \pi [f + \frac{f^2}{2}]_{-\frac{1}{2}}^{0} + \pi [f - \frac{f^2}{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} = $

$ = \pi (+ \frac{1}{2} - \frac{1}{8}) + \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8}) = \pi (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} \pi$

 

Dunque

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} (\frac{\sin(x)}{x})^3 dx = \frac{3}{4} \pi$

 

FINE