Integrali

  • Materia: Integrali
  • Visto: 1967
  • Data: 29/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int \\int \\int_{A} 2z dxdydz$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\int \int \int_{A} 2z dxdydz$

 

con $A = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 \le 4, -\sqrt{1 + x^2 + y^2} \le z \le \sqrt{x^2 + y^2}\}$

 


Dato che $\sqrt{x^2 + y^2} \ge -\sqrt{1 + x^2 + y^2}$ $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$, allora l'integrale proposto equivale a

 

 

$\int \int_{B} (\int_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz)dxdy$ (1)

 

con $B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \le 4\}$.

 

$\int_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz = [z^2]_{-\sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{\sqrt{x^2 + y^2}} = x^2 + y^2 - (1 + x^2 + y^2) = -1$

 

Pertanto (1) equivale a

 

$\int \int_{B} (-1)  dxdy = - \int \int_{B} dxdy = - 4 \pi$

 

considerando che $B$ è un cerchio di raggio $2$ e che $\int \int_{B} dxdy$ rappresenta l'area di $B$.

 

FINE