Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 20/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int \\int_{T} e^{(y - 2)^2}dxdy$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$\int \int_{T} e^{(y - 2)^2}dxdy$

 

dove $T$ è il triangolo delimitato in $\mathbb{R}^2$ dalle rette $x=0$, $y=0$, $y - x = 2$.

 


Il dominio di integrazione può essere scritto in questi due modi:

 

$T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : -2 \le x \le 0, 0 \le y \le x + 2\}$ (1)

 

$T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : 0 \le y \le 2, y - 2 \le x \le 0\}$ (2)

 

Se viene adottata la rappresentazione (1) l'integrale doppio non può essere risolto in forma chiusa, dato che la funzione $e^{(y - 2)^2}$ non ammette primitive esprimibili in forma elementare; se invece viene usata la rappresentazione (2) si ottiene

 

$\int \int_{T} e^{(y - 2)^2}dxdy = \int_{0}^{2} \int_{y - 2}^{0} e^{(y - 2)^2}dxdy = - \int_{0}^{2} (y - 2) e^{(y - 2)^2} dy =$

$= - \frac{1}{2} \int_{0}^{2} 2(y - 2) e^{(y - 2)^2}dy = - \frac{1}{2} [e^{(y - 2)^2}]_{0}^{2} = - \frac{1}{2} (1 - e^4) = \frac{1}{2} (e^4 - 1)$

 

FINE