Integrali

  • Materia: Integrali
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  • Data: 17/02/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

$\\int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 3} 

Calcolare 

$\int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx$


 

Procediamo con la sostituzione di $\log(x)=t$, e per la definizione di logaritmo ottengiamo: $\e^t=x$, differenziando per trovare $\dx$   si ha $\e^t*dt=dx$.
Sostituendo e semplificando, ricaviamo l'integrale:

$\(1/3)*int(t^3-5)/(t^2-1)dt$

dividendo $\(t^3-5)/(t^2-1)$ otteniamo $\t+(t-5)/(t^2-1)$

per quanto riguarda $t$ l'integrale è immediato, invece la parte $\(t-5)/(t^2-1)$ occorrerà dividerla in due frazioni che portano ad avere i due integrali:

$\2*int1/(1-t)dt$ e $\3*int1/(1+t)dt$

in definitiva otteniamo integrando:

$\(1/3)*[(t^2/2)-2*log(1-t)+3*log(1+t)]+c$

A questo punto, facendo uso di un paio di proprietà dei logaritmi per rendere la forma più compatta,

$\(1/3)*[t^2/2+log((1+t)^3/(1-t)^2)]+c$

Ora non resta che tornare alla variabile inziale, quindi risostituendo abbiamo la famiglia di primitive

$\(1/3)*[(log^2x)/2+log((1+log(x))^3/(1-log(x))^2)]+c$ al variare di $c$ in $RR$