Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 25/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Applicazioni delle leggi di Newton 40

Esercizio su La dinamica, le leggi di Newton dal libro Fondamenti di Fisica Halliday

Un razzo di massa 3000 kg è lanciato dal suolo: il propulsore esercita sul razzo una spinta di 6.0x104 N a un angolo di elevazione costante di 60° per 50 s, poi si spegne. In prima approssimazione possiamo ignorare la perdita di massa dovuta al consumo di propellente, e trascurare la resistenza dell’aria. Calcolare la quota raggiunta dal razzo all’istante dell’estinzione e la distanza totale orizzontale dal punto di partenza all’impatto col suolo supposto orizzontale (la gittata).

Soluzione:

La forza agisce per 50 s lungo un tratto inclinato di 60° rispetto all’orizzonte. Il razzo ha una traiettoria rettilinea sotto la spinta dei motori. Il moto è, quindi, per i primi 50 s soggetto all’accelerazione dei motori e a quella di gravità diretta verso il basso. L’accelerazione dei motori, diretta lungo la direzione della forza, si può scomporre in una componente orizzontale e una verticale; quest’ultima sarà in parte bilanciata dall’accelerazione di gravità, diretta nel verso opposto. Calcoliamo prima l’accelerazione dovuta ai motori \[ a=\frac{F}{m}=\frac{6.0\cdot10^{4}\, N}{3000\, kg}=20\,\frac{m}{s^{2}} \] La componente verticale sarà \[ a_{y}=20\sin60{^\circ}=17.3\,\frac{m}{s^{2}} \] A tale componente va sottratta l'accelerazione di gravità diretta nel verso opposto, per cui l'accelerazione verticale totale è \[ a_{y}^{tot}=\left(17.3-9.8\right)=7.5\,\frac{m}{s^{2}} \] L'altezza massima raggiunta, prima dello spegnimento dei motori, è \[ h=\frac{1}{2}a_{y}^{tot}t^{2}=\frac{1}{2}\cdot7.5\,\frac{m}{s^{2}}\cdot50^{2}\, s^{2}=9375\, m \] Dopo lo spegnimento dei motori, si può supporre che il missile segua le leggi del moto dei proiettili. Salirà quindi ancora per un tratto per inerzia e poi cadrà sotto l'azione del suo peso; contemporaneamente avrà uno spostamento orizzontale a velocità costante. Calcoliamo le velocità raggiunte dal razzo all'atto dello spegnimento dei motori: \[ v_{y}=a_{y}^{tot}t=7.5\,\frac{m}{s^{2}}\cdot50\, s=375\,\frac{m}{s} \] Per ottenere la componente orizzontale costante della velocità, calcoliamo prima la componente orizzontale dell'accelerazione dovuta ai motori che hanno agito per 50 s \[ a_{x}=20\cos60{^\circ}=10\,\frac{m}{s^{2}} \] la velocità orizzontale, rimasta costante, sarà \[ v_{x}=a_{x}t=10\,\frac{m}{s^{2}}\cdot50\, s=500\,\frac{m}{s} \] La velocità del razzo nella direzione del moto sarà \[ v_{0}=\sqrt{375^{2}+500^{2}}=625\,\frac{m}{s} \] e l'angolo formato con l'orizzontale è \[ \alpha=\arctan\frac{375}{500}=37{^\circ} \] Il razzo tornerà alla quota di 9375 m, dopo aver percorso, usando le relazione del moto dei proiettili \[ R=\frac{v_{0}^{2}\sin2\alpha}{g}=\frac{625^{2}\,\frac{m^{2}}{s^{2}}\cdot\sin74{^\circ}}{9.8\,\frac{m}{s^{2}}}=38316\, m \] a questa si deve aggiungere la distanza percorsa in orizzontale in fase di salita \[ s_{x}=\frac{1}{2}\cdot10\,\frac{m}{s^{2}}\cdot50^{2}\,\frac{m}{s^{2}}=12500\, m \] e quella in fase di ritorno al suolo, sotto l'effetto dell'accelerazione di gravità. Per calcolare tale distanza è necessario conoscere prima il tempo impiegato a percorrere il dislivello di 9375 m, che si ricava da $$y-y_{0}=-v_{o}t-\frac{1}{2}gt^{2}$$; sostituendo e risolvendo si ha \begin{eqnarray*} 9375=375t+4.9t^{2} & & t=19.9\, s \end{eqnarray*} In tale tempo, lo spostamento orizzontale con una velocità costante di 500 m/s, sarà \[ s=500\,\frac{m}{s}\cdot19.9\, s=9950\, m \] La distanza totale percorsa, in direzione orizzontale, sarà \[ d=38316+12500+9950=60766\, m \]