Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 12/06/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Libro Fondamenti di Fisica Halliday - Capitolo 20 Problema 25

Termodinamica: esercizio svolto sui gas

A 1,00mol di un gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il ciclo mostrato in figura. Il processo bc è un’espansione adiabatica (pb=10,1bar, Vb=1,00×10-3m3). Si calcoli per ogni ciclo il calore fornito al gas, il calore restituito dal gas, il lavoro totale compiuto dal gas e il rendimento.

Risoluzione

Nel punto B si ha pb=10,1×105Pa e Vb=1,00×10-3m3. Applicando l'equazione dei gas ideali si ha:

\[{{\rm{p}}_{\rm{b}}}{{\rm{V}}_{\rm{b}}} = {\rm{nR}}{{\rm{T}}_{\rm{b}}} \Rightarrow {{\rm{T}}_{\rm{b}}} = \frac{{{{\rm{p}}_{\rm{b}}}{{\rm{V}}_{\rm{b}}}}}{{{\rm{nR}}}} = {\rm{122K}}\]

Nel punto c sappiamo che Vc=8,00Vb=8,00m3. Dall’equazione della trasformazione adiabatica BC si ha:

\[{{\rm{T}}_{\rm{b}}}{\rm{V}}_{\rm{b}}^{\gamma {\rm{ - 1}}} = {{\rm{T}}_{\rm{c}}}{\rm{V}}_{\rm{c}}^{\gamma {\rm{ - 1}}} \Rightarrow {{\rm{T}}_{\rm{c}}} = {{\rm{T}}_{\rm{b}}}{\left( {\frac{{{{\rm{V}}_{\rm{c}}}}}{{{{\rm{V}}_{\rm{b}}}}}} \right)^{\gamma  - {\rm{1}}}} = {\rm{30,5K}}\]

Applicando poi l’equazione di stato dei gas perfetti nel punto C:

\[{{\rm{p}}_{\rm{c}}}{{\rm{V}}_{\rm{c}}} = {\rm{nR}}{{\rm{T}}_{\rm{c}}} \Rightarrow {{\rm{p}}_{\rm{c}}} = \frac{{{\rm{nR}}{{\rm{T}}_{\rm{c}}}}}{{{{\rm{V}}_{\rm{c}}}}} = {\rm{3,17}} \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^{\rm{4}}}{\rm{Pa}}\]


Nel punto A pa=pc=3,17×105Pa e Va=Vb=10-3m3. Per cu si ha:

\[{{\rm{p}}_{\rm{a}}}{{\rm{V}}_{\rm{a}}} = {\rm{nR}}{{\rm{T}}_{\rm{a}}} \Rightarrow {{\rm{T}}_{\rm{a}}} = \frac{{{{\rm{p}}_{\rm{a}}}{{\rm{V}}_{\rm{a}}}}}{{{\rm{nR}}}} = {\rm{3,81K}}\]

 

Calcoliamo ora i calori scambiati dal gas nel ciclo:

\[{{\rm{Q}}_{{\rm{ab}}}} = {\rm{n}}{{\rm{C}}_{\rm{V}}}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{b}}} - {{\rm{T}}_{\rm{a}}}} \right) = \frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}{\rm{nR}}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{b}}} - {{\rm{T}}_{\rm{a}}}} \right) = {\rm{1470J}}\]

\[{{\rm{Q}}_{{\rm{bc}}}} = {\rm{0}}\]

\[{{\rm{Q}}_{{\rm{ca}}}} = {\rm{n}}{{\rm{C}}_{\rm{P}}}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{a}}} - {{\rm{T}}_{\rm{c}}}} \right) = \frac{{\rm{5}}}{{\rm{2}}}{\rm{nR}}\left( {{{\rm{T}}_{\rm{a}}} - {{\rm{T}}_{\rm{c}}}} \right) =  - {\rm{554J}}\]

In un ciclo ΔEint=0 e quindi Q=L:

\[{\rm{L}} = {{\rm{Q}}_{{\rm{ab}}}} + {{\rm{Q}}_{{\rm{bc}}}} + {{\rm{Q}}_{{\rm{ca}}}} = {\rm{916J}}\]

Il rendimento è dato da:

\[\eta  = \frac{{\rm{L}}}{{{{\rm{Q}}_{}}}} = \frac{{\rm{L}}}{{{{\rm{Q}}_{{\rm{AB}}}}}} = {\rm{0,623}}\]