Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
  • Visto: 1026
  • Data: 23/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Moti in due e tre dimensioni: esercizio su accelerazione e accelerazione media 8

Esercizio su accelerazione e accelerazione media dal libro Fondamenti di Fisica Halliday.

Una particella A si sposta sulla retta y=30 m a velocità costante di modulo v=3.0 m/s e direzione parallela all’asse x (si veda la figura). Una seconda particella B parte dall’origine, con velocità iniziale nulla e accelerazione di modulo a=0.40 m/s2, nello stesso istante in cui la particella A attraversa l’asse y. Quale angolo θ tra a e il verso positivo dell’asse y potrebbe provocare una collisione tra le due particelle?

 

Soluzione:

la particella A si muove in direzione orizzontale di moto rettilineo uniforme, mentre la particella B si muove di moto accelerato. La direzione del moto accelerato deve essere tale che le due particelle si incontrino. Pertanto, affinché B raggiunga A, è necessario che percorra una traiettoria scomponibile in un tratto orizzontale sxB=vt<=3.0t e un tratto verticale syB=30 m. La distanza complessiva che deve percorrere la particella B è descritta dal segmento obliquo in figura che è ottenibile applicando il th. di Pitagora al triangolo disegnato: \[ s_{B}=\sqrt{30^{2}+\left(3t\right)^{2}} \] tale distanza deve essere percorsa con una accelerazione a=0.4 m/s2 e partendo da ferma, per cui \[ \sqrt{30^{2}+\left(3t\right)^{2}}=\frac{1}{2}at^{2}=0,2t^{2} \] Risolviamo elevando al quadrato \[ 0,04t^{4}-9t^{2}-900=0 \] l’equazione è biquadratica e si risolve ponendo, ad es. t2=z \[ 0,04z^{2}-9z-900=0 \] applicando la formula risolutiva, si ha, prendendo la sola soluzione positiva \[ z=\frac{9+\sqrt{81+144}}{0.08}=300 \] risolviamo ora rispetto a t, considerando ancora la sola soluzione positiva per il tempo \[ t=\sqrt{300} \] Ora, l’angolo θ indicato in figura è legato alle due componenti dello spostamento dalla relazione \[ \tan\theta=\frac{s_{x}^{B}}{s_{y}^{B}}=\frac{3t}{30} \] cioè, sostituendo il valore ottenuto per t \[ \theta=\arctan\left(\frac{3\cdot\sqrt{300}}{30}\right)=60{^\circ} \]