Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 23/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Moti in due e tre dimensioni: esercizio su Moto circolare uniforme 12

Esercizio su Moto circolare uniforme dal libro Fondamenti di Fisica Halliday.

Una particella P viaggia a velocità costante su un cerchio di raggio 3.00 m, compiendo una rivoluzione ogni 20.0 s. Passa per il punto O all’istante t=0. (a) Trovare modulo e direzione del vettore posizione rispetto a O per t=5.00 s e t=7.50 s. (b) Per l’intervallo di 5.00 s dalla fine del 5° alla fine del 10° secondo, trovare lo spostamento e velocità media. (c) Alla fine di questo intervallo, trovare la velocità e l’accelerazione istantanea.

(a) Assumendo il punto O come riferimento e sapendo che il periodo è di 20.0 s, possiamo individuare la posizione del punto dopo 5.00 s. Esso si troverà a un quarto di giro dopo O (infatti 5.00 s sono la quarta parte del periodo). Il vettore spostamento sarà pertanto la corda OO’, cioè il lato del quadrato inscritto: \[ OO'=r\sqrt{2}=3.00\cdot\sqrt{2}=4.24\, m \] dopo 7.50 s il punto O si sarà spostato di modo che la corda OO" sottende un angolo al centro di 135°. La sua lunghezza si può calcolare con il teorema della corda sapendo che l’angolo alla circonferenza sotteso dalla stessa corda è metà dell’angolo al centro, cioè 67.5°; oppure attraverso il modello geometrico nella figura sotto:

il triangolo OQP è isoscele, il triangolo CHP è rettangolo isoscele, per cui CH, lato del quadrato di diagonale CP, è $$CH=\frac{3.00\, m}{\sqrt{2}}=2.12\, m$$ e l’altezza OH=3.00+2.12 m=5.12 m. Inoltre, osservando che CH=HP, si può ricavare OP con il th. di Pitagora \[ OP=\sqrt{\left(5.12^{2}+2.12^{2}\right)\, m^{2}}=5.54\, m \]

(b) in questo intervallo, dalla fine del 5° alla fine del 10° secondo, la particella percorre un quarto di giro; lo spostamento è dato dal vettore che congiunge i punti O’y il cui modulo è pari al lato del quadrato inscritto, cioè \[ s=3.00\cdot\sqrt{2}=4.24\, m \] l’angolo formato è di 135°. La velocità vettoriale media è \[ v=\frac{4.24\, m}{5.00\, s}=0.85\, s \] nella stessa direzione dello spostamento (c) la velocità istantanea alla fine di tale intervallo, cioè dopo 10 s, si ha \[ v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot3.00\, m}{20.00\, s}=0.94\,\frac{m}{s} \] l'accelerazione sarà \[ a=\frac{v^{2}}{r}=\frac{0.94^{2}\,\frac{m^{2}}{s^{2}}}{3.00\, m}=0.30\,\frac{m}{s^{2}} \]