Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 23/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Moti in due e tre dimensioni: esercizio su moto dei proiettili 12

Esercizio su Moto dei proiettili dal libro Fondamenti di Fisica Halliday.

Una palla viene lanciata direttamente contro un muro con la velocità iniziale di 25.0 m/s a un angolo di 40.0° rispetto al suolo orizzontale, come indicato in figura. Il muro si trova a 22.0 m dal punto di lancio. (a) Per quanto tempo rimane in aria la palla prima di colpire la parete? (b) Quanto più in alto del punto di lancio colpisce la parete? (c) Quali sono le componenti orizzontale e verticale della sua velocità all’istante in cui colpisce la parete? (d) In questo istante ha già superato il vertice della traiettoria?

 

(a) il tempo di volo prima di colpire il muro è quello durante il quale la palla percorre i 22.0 m che la separano dal muro stesso. Calcoliamo prima le componenti della velocità \begin{eqnarray*} v_{0x} & = & 25.0\,\frac{m}{s}\cdot\cos40.0{^\circ}=19.2\,\frac{m}{s}\\ v_{0y} & = & 25.0\,\frac{m}{s}\cdot\sin40.0{^\circ}=16.1\,\frac{m}{s} \end{eqnarray*} É possibile calcolare il tempo attraverso la componente orizzontale, che appunto indica lo spostamento verso il muro \[ t=\frac{s}{v_{ox}}=\frac{22.0\, m}{19.2\,\frac{m}{s}}=1.15\, s \]
(b) Il punto in cui colpisce la parete al di sopra del punto di lancio, dipende dalla variazione della componente verticale della velocità, nel tempo di 1.15 s \[ y=v_{oy}t-\frac{1}{2}gt^{2}=16.1\,\frac{m}{s}\cdot1.15\, s-4.9\,\frac{m}{s^{2}}\cdot1.15^{2}\, s^{2}=12.0\, m \]
(c) calcoliamo la velocità nell’istante in cui la palla colpisce la parete. La componente orizzontale non subisce alcuna variazione, in condizioni ideali, e pertanto sarà \[ v_{x}=v_{0x}=19.2\,\frac{m}{s} \] la componente verticale varia invece secondo le leggi della caduta di un grave \[ v_{y}^{2}=v_{0y}^{2}-2gy \] da cui \[ v_{y}=\sqrt{\left(16.1\,\frac{m}{s}\right)^{2}-2\cdot9.8\,\frac{m}{s^{2}}\cdot12\, m}=4.9\,\frac{m}{s} \]
(d) il moto complessivo è descrivibile attraverso una parabola. Il punto più in alto coincide geometricamente con il vertice di tale parabola. Dalla equazione del moto $$y=x\tan\vartheta_{0}-\frac{gx^{2}}{2v_{0x}^{2}}$$ si ricava l’ascissa del vertice, cioè lo spostamento in orizzontale che confronteremo con la distanza tra palla e muro. L’ascissa del vertice \[ V_{x}=-\frac{b}{2a}=\frac{v_{0}^{2}\sin2\vartheta_{0}}{2g}=\frac{\left(25\,\frac{m}{s}\right)^{2}\sin80.0{^\circ}}{2\cdot9.8\,\frac{m}{s^{2}}}=31.4\, m \] essendo la distanza tra palla e parete di 22 m, dopo 1.15 s la palla è ancora in fase di salita.

La risposta si può dare anche confrontando i tempi, in quanto il punto di massimo corrisponde a quello in cui la velocità si annulla (in fase di salita la velocità ha segno positivo, che si inverte quando la palla inizia a scendere per il prevalere della gravità. Tra queste due fasi la velocità si annullerà appunto nel vertice della traiettoria parabolica). Quindi da \[ v_{y}=v_{0y}-gt \] dovendo essere vy=0, si ha\[ t=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{16.1\,\frac{m}{s}}{9.8\,\frac{m}{s^{2}}}=1.64\, s \] anche in questo caso, il tempo è superiore al tempo necessario a colpire il muro di 1.15 s, e ciò indica ancora come la palla sia in fase di salita.