Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 23/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Moti in due e tre dimensioni: esercizio su moto dei proiettili 13

Esercizio su Moto dei proiettili dal libro Fondamenti di Fisica Halliday.

Dimostrare che, per un proiettile sparato da un terreno piano a un angolo θ0 rispetto all’orizzontale, il rapporto fra la massima altezza H e la gittata R è dato dall’espressione $$H/R=\frac{1}{4}\tan\vartheta_{0}$$ Per quale angolo si ha H=R?

 

Soluzione:

La relazione che esprime il punto di massima altezza, cioè il punto in cui vy=v0sin ϑ0=0, è \[ H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\vartheta_{0}}{2g} \] mentre la gittata, distanza tra punto di partenza e di ricaduta, cioè nel modello geometrico la distanza tra le intersezioni della parabola con l’asse orizzontale, è espressa da \[ R=\frac{v_{0}^{2}\sin2\vartheta_{0}}{g}=\frac{2v_{0}^{2}\sin\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}}{g} \] il loro rapporto sarà pertanto \[ \frac{H}{R}=\frac{\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\vartheta_{0}}{2g}}{\frac{2v_{0}^{2}\sin\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}}{g}}=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\vartheta_{0}}{2g}\cdot\frac{g}{2v_{0}^{2}\sin\vartheta_{0}\cos\vartheta_{0}}=\frac{1}{4}\tan\vartheta_{0} \] Se H=R, allora il rapporto H, cioè $$\frac{1}{4}\tan\vartheta_{0}=1$$ Risolvendo la equazione goniometrica elementare, si ha \[ \vartheta_{0}=\arctan4=76{^\circ} \]