Libro Fondamenti di Fisica Halliday

  • Materia: Libro Fondamenti di Fisica Halliday
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  • Data: 23/07/2014
  • Di: Gianluigi Trivia

Moti in due e tre dimensioni: esercizio su moto dei proiettili 17

Esercizio su Moto dei proiettili dal libro Fondamenti di Fisica Halliday.

Si spara una palla da terra in aria. All’altezza di 9.1 m si osserva una velocità $$\overrightarrow{v}=7.6\overrightarrow{i}+6.1\overrightarrow{j}\, m/s$$ Calcolare la massima elevazione e la distanza orizzontale complessiva percorsa. Determinare inoltre la velocità della palla nell’istante prima di cadere a terra.

Soluzione:

La velocità è espressa mediante il vettore; da questo deduciamo le componenti orizzontali e verticali \[ \begin{array}{c} v_{x}=7.6\,\frac{m}{s}\\ v_{y}=6.1\,\frac{m}{s} \end{array} \] sappiamo che la componente orizzontale si mantiene costante. La componente verticale varia secondo le leggi del moto accelerato \[ v_{y}^{2}=v_{0}^{2}\sin^{2}\theta_{0}-2g\left(y-y_{0}\right) \] da cui \[ v_{0y}^{2}=v_{0}^{2}\sin^{2}\theta_{0}=v_{y}^{2}+2g\left(y-y_{0}\right)=6.1^{2}\,\frac{m^{2}}{s^{2}}+2\cdot9.8\,\frac{m}{s^{2}}\cdot9.1\, m=229.3\,\frac{m^{2}}{s^{2}} \] la massima elevazione è data da \[ H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}\theta_{0}}{2g}=\frac{229.3\,\frac{m^{2}}{s^{2}}}{19.6\,\frac{m}{s^{2}}}=11.7\, m \] La distanza complessiva è rappresentata dalla gittata \[ R=\frac{v_{0}^{2}\sin2\theta_{0}}{g} \] ora $$v_{0}^{2}\sin2\theta_{0}=2v_{0}^{2}\sin\theta_{0}\cos\theta_{0}=2v_{0}\cos\theta_{0}\cdot v_{0}\sin\theta_{0}=2v_{0x}\cdot v_{0y}=2v_{x}\cdot v_{0y}$$, per la costanza della componente orizzontale. Pertanto \[ R=\frac{2\cdot7.6\,\frac{m}{s}\cdot\sqrt{229.3}\,\frac{m}{s}}{9.8\,\frac{m}{s^{2}}}=23.5\, m \] Infine, la velocità prima dell’impatto corrisponde al valore assoluto massimo della componente verticale. Poiché nel punto di massima elevazione, la componente verticale della velocità è nulla, possiamo considerare la palla che cade da 11.7 m con partenza da fermo, per ottenere la velocità \[ v_{y}=-\sqrt{2gy}=-\sqrt{2\cdot9.8\,\frac{m}{s^{2}}\cdot11.7\, m}=-15.1\,\frac{m}{s} \] la velocità, espressa vettorialmente, sarà \[ \overrightarrow{v}=7.6\overrightarrow{i}-15.1\overrightarrow{j}\, m/s \] il suo modulo sarà \[ v=\sqrt{7.6^{2}+\left(-15.1\right)^{2}}=17.0\,\frac{m}{s} \] con \[ \theta=\arctan\left(\frac{-15.1}{7.6}\right)=63{^\circ} \] sotto il piano orizzontale.