Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visto: 138
  • Data: 05/05/2016
  • Di: Angela Ardizzone

Equazioni irrazionali

Cosa sono le equazioni irrazionali e come si risolvono.

EQUAZIONI IRRAZIONALI. In matematica un equazione irrazionale è un equazione in cui l’incognita compare come argomento di una radice. In generale si può scrivere che sarà del tipo:

Quindi l’incognita x in questo caso deve proprio essere argomento della radice enne-sima. Facciamo un esempio:

 è un equazione irrazionale;

 è un equazione irrazionale.

Prima di iniziare a risolvere questa tipologia di equazioni, è necessario fare distinzione tra le equazioni irrazionali con radice ad indice pari e quelle con radice ad indice dispari. Vediamo come comportarci in entrambi i casi.

Radice di indice pari:

Può sembrare complicato risolvere questo tipo di equazioni, in realtà si devono seguire solo alcuni passaggi molto semplici.

1. Verificare la condizione di esistenza della soluzione;

f(x)≥0

Perché sappiamo che non esistono radici ad indice pari di numeri negativi.

2. Eleviamo entrambi i membri per la potenza della radice (così da eliminarla);

3. Risolviamo l’equazione così ottenuta;

4. Verifichiamo che tali soluzioni soddisfino l’equazione di partenza andando a sostituire;

 

EQUAZIONI IRRAZIONALI ESEMPIO. Vediamo ora un esempio per chiarezza:

La radice avrà soluzioni solo per:

5x+1≥0   ⟹   x≥-1/5

Eleviamo entrambi i membri:

5x+1=16

La soluzione sarà:

x=3

Soddisfa l’equazione di partenza?

√(5∙3+1)=4   ⟹   √16=4   ⟹   4=4

L’equazione irrazionale è verificata.

 

Facciamo un altro esempio per capire meglio:

√(4-x^2 )=x

4-x2≥0   ⟹  -2≤x≤2

4-x2=x^2

La soluzione sarà:
           

2x2=4   ⟹   x2=2   ⟹   x=±√2

Entrambe le soluzioni trovare rientrano nel campo di esistenza della radice quadra, ma saranno entrambe soluzione dell’equazione irrazionale? Andiamo a sostituire:

 

  • Radice ad indice dispari:

Il procedimento è più o meno lo stesso di quando si ha indice pari, ma con alcune semplificazioni. Infatti considerando che le radici dispari ammettono radicando anche di segno negativo e che elevando entrambi i membri per l’indice della radice si otterrà una equazione equivalente alla prima, possiamo tranquillamente saltare i punti 1. e 4.

Vediamo un esempio:

∛(1+3x)=-2

eleviamo entrambi i membri al cubo:

1+3x=(-2)3    ⟹   1+3x=-8

risolviamo l’equazione ottenuta:

3x=-9   ⟹   x=-3


Queste sono le basi per poter risolvere un equazione irrazionale.