Matematica

  • Materia: Matematica
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  • Data: 06/03/2016
  • Di: Angela Ardizzone

Funzione esponenziale: definizione, grafico e dominio

Funzione esponenziale. Definizione, grafico, dominio ed esercizi svolti sulle funzioni esponenziali.

FUNZIONE ESPONENZIALE: DEFINIZIONE, GRAFICO E DOMINIO. Le funzioni esponenziali, in particolare quelle che hanno per base il numero di Eulero e, rivestono grande importanza nell’analisi matematica, le ritroviamo a partire dalla trigonometria fino alle equazioni differenziali e gli sviluppi di Taylor.

Ci preoccupiamo ora di definire la funzione esponenziale, di valutarne il grafico e le principali caratteristiche.
Definizione:

x∈R  la legge che associa x→a, con a>0 e a≠1,è detta funzione esponenziale

Se a fosse uguale ad 1 allora la funzione sarebbe costantemente uguale ad 1, ovvero una retta.
Dobbiamo però fare una diversa trattazione per il caso in cui a appartenga all’intervallo (0,1) o (1,+∞).


1. y=aX  con 0<a<1

La funzione esponenziale avrà un andamento del genere:

Se sostituiamo alla funzione il valore che identifica l’asse delle ordinate (x=0) vediamo che la funzione assume il valore y=1.
Caratteristiche generali:

  • Dominio: (-∞,+∞) quindi tutto R;
  • Codominio: (0,+∞) quindi R+;
  • Sempre positiva,  y=ax>0 ∀ x ∈R;
  • Monotona decrescente;
  • Continua e derivabile su tutto R;
  • I limiti agli estremi del dominio:

    questo ci indica che y=0 è un asintoto orizzontale destro della funzione, ovvero la funzione si avvicina indefinitamente all’asse delle ascisse per x maggiori di 0.
     

2. y=ax  con a>1

In questo caso l’andamento sarà speculare:


Anche qui per x=0 (intersezione con l’asse y) la funzione varrà 1.
Caratteristiche generali:

  • Dominio: (-∞,+∞), tutto R;
  • Codominio: (0,+∞) quindi R+;
  • Sempre positiva, y=ax>0 ∀ x∈R;
  • Monotona crescente;
  • Continua e derivabile su tutto R;
  • I limiti agli estremi del dominio:

    quindi y=0 sarà asintoto orizzontale sinistro, la funzione si avvicinerà indefinitamente all’asse delle ascisse per x minori di 0.

Una delle funzioni esponenziali più importanti è quella che ha per base il numero di Eulero e ed esponente la variabile indipendente x.

y=ex

Tale scelta è dettata dal fatto che in questo modo la funzione come tutte le potenze passa per il punto (0,1), ma ha anche pendenza unitaria; questo comporta che la derivata della funzione esponenziale è la funzione stessa (aspetto molto importante nell’analisi matematica).