Matematica

  • Materia: Matematica
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  • Data: 05/04/2016
  • Di: Angela Ardizzone

I teoremi di Pappo-Guldino

I teoremi di Pappo-Guldino: enunciati e dimostrazioni.

TEOREMI DI PAPPO-GULDINO. Pappo di Alessandria fu un matematico della Grecia antica attivo soprattutto in campo geometrico; a lui sono stati attribuiti vari teoremi tra cui i teoremi di Pappo-Guldino o anche chiamati teoremi del centroide di Pappo.

I teoremi di Pappo-Guidino sono due teoremi collegati, utili per calcolare la superficie ed il volume di un solido di rotazione.
I solidi di rotazione sono una particolare classe di solidi che si ottengono tramite una rotazione di 360° di:

  • Una figura piana intorno ad un suo lato o ad una retta (anche esterna alla figura stessa, esempio il toroide);
  • Una linea retta o curva intorno ad un’altra retta.

I principali solidi di rotazione con cui ci dobbiamo confrontare a scuola sono: il cilindro, il cono e la sfera; ma esistono solidi di rotazione con una geometria molto più particolare.
Ma torniamo ai teoremi di Pappo-Guldino. Come già detto essi consentono di calcolare il volume e la superficie laterale conoscendo il baricentro della figura piana (per il volume) e della curva (per la superficie) che va a generare il solido.

Primo teorema di Pappo-Guldino:
“L’area di una superficie di rotazione ottenuta da una curva piana ruotata di un angolo θ compreso tra 0° e 360° attorno ad un asse è pari al prodotto tra l’angolo, la distanza del baricentro della curva dall’asse di rotazione e dalla lunghezza della curva stessa.”

In formule abbiamo:

A=θ∙d∙l

Dove d è la distanza del baricentro ed l la lunghezza della curva.

Prendiamo un solido noto e proviamo questa formula. Vogliamo per esempio trovare la superficie di un cilindro.
Dalla geometria sappiamo che al superficie laterale sarà pari a: S=2πr∙h  con r raggio della circonferenza di base e h altezza del cilindro.

Ora sfruttiamo il teorema di Pappo-Guldino. Il cilindro è ottenuto per rotazione di un rettangolo attorno ad un suo lato:
L’angolo di rotazione θ sarà pari a 360° (ovvero 2π);
Il baricentro si trova sulla curva che descrive il solido ed avrà distanza d pari proprio al raggio;

La lunghezza della curva sarà appunto l’altezza del rettangolo.

A=θ∙d∙l=2π∙r∙h

Secondo teorema di Pappo-Guldino:
“Il volume di un solido di rotazione ottenuto ruotando una figura piana di un angolo θ compreso tra 0° e 360° attorno ad un asse è pari al prodotto tra l’angolo di rotazione, la distanza del baricentro della figura dall’asse di rotazione e l’area della figura stessa.”

In formule:

V=θ∙d∙A

Con d distanza del baricentro e A area della figura piana.

Vogliamo trovare il volume sempre di un cilindro:

  • L’angolo di rotazione θ è sempre 2π;
  • Il baricentro della figura piana, che in questo caso è un rettangolo, sappiamo essere a r/2 se con r indichiamo il lato del rettangolo (che coincide con il raggio della circonferenza di base);

L’area del rettangolo sarà base per altezza, se la base abbiamo detto essere pari ad r e l’altezza della figura h, avremo rh.

V=θ∙d∙A=2π∙r/2∙rh=πr2 h     

Che sappiamo essere corretta.