Numeri complessi

  • Materia: Numeri complessi
  • Visto: 6661
  • Data: 05/07/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolo radici terze

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare le radici terze di $-81$.

 


Si deve calcolare $z$ in modo che $z^3 = -81$. Dato che $z$ e $-81$ sono numeri complessi possono essere scritti in modulo e fase

 

 

$z = \rho e^{i \theta}$

 

$-81 = 3^3 e^{i \pi}$

 

dove $\rho$ e $\theta$ sono il modulo e la fase di $z$. Quindi

 

$\rho^3 e^{i 3 \theta} = 3^3 e^{i \pi}$

 

da cui

 

$\rho^3 = 3^3 \quad \implies \quad \rho = 3$

 

$3 \theta = \pi + 2k \pi \quad \implies \quad \theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2}{3} k \pi \quad k = 0,1,2$

 

Quindi le radici terze di $-81$ sono

 

$3 e^{i (\frac{\pi}{3} + \frac{2}{3} k \pi)} \quad k = 0,1,2$

 

FINE