Numeri complessi

  • Materia: Numeri complessi
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  • Data: 26/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Risoluzione equazione - modulo e fase

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere

 

$z^2 - i \bar{z} = 0$

 

per $z \in \mathbb{C}$, dove $\bar{z}$ indica il compesso coniugato di $z$.

 


Detto $\rho$ il modulo di $z$ e $\theta$ la sua fase, risulta

 

 

$z = \rho e^{i \theta}$

 

$z^2 = \rho^2 e^{i 2 \theta}$

 

$\bar{z} = \rho e^{-i \theta}$

 

pertanto l'equazione diventa

 

$\rho^2 e^{i 2\theta} = i \rho e^{-i \theta}$

 

Osservando che $z=0$ è soluzione, dividendo poi per $\rho$ e moltiplicando ambo i membri per $e^{i \theta}$, si ottiene

 

$\rho e^{i 3 \theta}= i$

 

Dato che

 

$i = e^{i \frac{\pi}{2}}$

 

l'equazione diventa

 

 $\rho e^{i 3 \theta}= e^{i \frac{\pi}{2}}$

 

da cui

 

$\rho = 1$

 

$3 \theta = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \quad \implies \quad \theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2}{3} k \pi$, $k = 0, 1, 2$

 

Dunque le soluzioni dell'equazione sono

 

$z = 0$

 

$z =  e^{i (\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3} k \pi)}$, $k = 0, 1, 2$

 

FINE