Numeri complessi

  • Materia: Numeri complessi
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  • Data: 27/10/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

$z|z|=2z-1$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Risolvere in campo complesso la seguente equazione

$z|z|=2z-1$


Sia $z=a+jb$

$|z|=sqrt(a^2+b^2)$ per cui l'equazione si riscrive:

$(a+jb)sqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$ cioè

$a*sqrt(a^2+b^2)+jbsqrt(a^2+b^2)=(2a-1)+2jb$

ed uguagliando parti reali ed immaginarie si ha:

$a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ e

$bsqrt(a^2+b^2)=2b$.

 

L'equazione $bsqrt(a^2+b^2)=2b$ ha soluzione

$b=0$ oppure $sqrt(a^2+b^2)=2$

 

Considerando allora $sqrt(a^2+b^2)=2$ e sostituendo in $a*sqrt(a^2+b^2)=2a-1$ si trova

$2a=2a-1$ cioè $0=-1$ il che è impossibile.

Invece se $b=0$ l'equazione diventa

$a|a|=2a-1$

Se $a>0$ l'equazione diventa $a^2-2a+1=0$ che implica $a=1$

Se $a<0$ l'equazione diventa $a^2+2a-1=0$ da cui $a=-1+-sqrt(2)$ di cui solo $a=-1-sqrt(2)$ è accettabile perchè soddisfa $a<0$

Quindi tali $z$ soddisfano l'equazione:

$z=1$ e

$z=-sqrt(2)-1$

 

FINE