Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
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  • Data: 12/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolo delle probabilità - evento complementare

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Un dado viene lanciato 3 volte. Qual è la probabilità di ottenere 6 almeno una volta? Quante volte deve essere lanciato il dado perché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90%?

Sia $A$ l'evento "nei tre lanci è uscito 6 almeno una volta". L'evento complementare, indicato con $\bar{A}$, rappresenta l'evento  "nei 3 lanci il 6 non è mai uscito". Risulta banalmente
 
$P(\bar{A}) = (\frac{5}{6})^3$
 
dato che i tre lanci sono eventi fra loro indipendenti. Ricordando che
 
$P(A) + P(\bar{A}) = 1$
 
la probabilità richiesta alla prima domanda vale
 
$P(A) = 1 - (\frac{5}{6})^3$
 
Ragionando analogamente, si deduce che la probabilità di ottenere 6 almeno una volta in $n$ lanci vale
 
$1 - (\frac{5}{6})^n$
 
Per risolvere la seconda domanda è necessario trovare il più piccolo intero positivo $n$ tale che
 
$1 - (\frac{5}{6})^n \ge \frac{9}{10}$
 
$(\frac{5}{6})^n \le \frac{1}{10}$ (1)
 
Applicando il logaritmo in base $\frac{5}{6}$ ad entrambi i membri, e ricordando che il logaritmo con base minore di $1$ è funzione monotona decrescente, la (1) diventa
 
$n \ge \log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10})$
 
Secondo le formule di cambiamento della base dei logaritmi
 
$\log_{\frac{5}{6}} (\frac{1}{10}) = \frac{\ln(\frac{1}{10})}{\ln(\frac{5}{6})} \approx \frac{-2.3}{-0.18} \approx 12.8$
 
Pertanto il numero minimo $n$ di lanci affinché la probabilità di ottenere 6 almeno una volta sia maggiore o uguale al 90% è
 
$n = 13$
 
FINE