Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
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  • Data: 25/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolo delle probabilità - lancio di due monete

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Due monete vengono lanciate più volte finché entrambe abbiano ottenuto testa almeno una volta. Qual è la probabilità che occorrano $k$ lanci?

 


La probabilità richiesta equivale a

 

 

$P(\{"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"\}" " \cap " " \{"la seconda aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"\}) +$

$+ P(\{"la seconda ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"\}" " \cap " " \{"la prima aveva già ottenuto testa almeno una volta nei k-1 lanci precedenti"\}) +$

$+ P(\{"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"\})$

 

Considerando che entrambe le monete non sono truccate, perciò hanno la stessa probabilità di ottenere testa o croce, e considerando che il lancio della prima moneta e della seconda moneta sono eventi indipendenti, si ottiene

 

$2 P(\{"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"\}) P(\{"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"\}) +$

$+P(\{"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"\})$

 

Dato che

 

$P(\{"la prima ottiene testa per la prima volta al k-esimo lancio"\}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^k$

 

$P(\{"la seconda aveva ottenuto almeno una volta testa nei k-1 lanci precedenti"\}) = $

$ = 1 - P(\{"la seconda non aveva mai ottenuto testa nei k-1 lanci precedenti"\}) = 1 - (\frac{1}{2})^{k-1}$

 

 $P(\{"entrambe ottengono testa per la prima volta al k-esimo lancio"\}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} = (\frac{1}{4})^k$

 

Pertanto la probabilità richiesta vale

 

$2 \cdot (\frac{1}{2})^{k-1} \cdot (1 - (\frac{1}{2})^{k-1}) + (\frac{1}{4})^k = (\frac{1}{2})^{k-1} - (\frac{1}{4})^{k-1} + (\frac{1}{4})^k$

 

FINE