Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
  • Visto: 11085
  • Data: 14/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolo delle probabilità - probabilità condizionata e teorema di Bayes

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Tre urne contengono $10$ palline ciascuna. Le palline nell'urna A sono contrassegnate con i numeri che vanno dall'1 al 10, quelle nell'urna B con i numeri che vanno dal 4 al 13, mentre quelle nell'urna C sono numerate dal 6 al 15. Si sceglie un'urna a caso (tra di loro equiprobabili) e si estrae una pallina. Sia $X$ la variabile aleatoria discreta corrispondente al numero stampato sulla pallina estratta.
 
a) Calcolare $P(X = 10)$, cioè la probabilità che il numero estratto sia $10$.
 
b) Calcolare $P(11 \le X \le 13)$, cioè la probabilità che il numero estratto sia compreso fra $11$ e $13$.
 
c) Calcolare la probabilità che si sia scelta l'urna A, sapendo che l'esito dell'estrazione è stato $X=5$.

Indicando con $\{A\}$, $\{B\}$, $\{C\}$, gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente, risulta
 
$P(X=10) = P(\{A} \cap \{X=10\}) +  P(\{B} \cap \{X=10\}) + P(\{C} \cap \{X=10\}) = P(\{X=10\} | \{A\}) P(A) + P(\{X=10\} | \{B\}) P(B) + P(\{X=10\} | \{C\}) P(C) =$
$=\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}$
 
$P(11 \le X \le 13) = P(\{11 \le X \le 13\} \cap \{A\}) + P(\{11 \le X \le 13\} \cap \{B\}) + P(\{11 \le X \le 13\} \cap \{C\})$
 
L'urna $A$ non contiene palline con un numero compreso fra $11$ e $13$, quindi  $P(\{11 \le X \le 13\} \cap \{A\}) = 0$, di conseguenza
 
$P(11 \le X \le 13) = P(\{11 \le X \le 13\} | \{B\})P(B) + P(\{11 \le X \le 13\} | \{C\})P(C) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}$
 
$P(\{A\} | \{X=5\}) = \frac{P(\{X=5\} \cap \{A\})}{P(X=5)} = \frac{P(\{X=5\} | \{A\}) P(A)}{P(\{X=5\} | \{A\}) P(A) + P(\{X=5\} | \{B\}) P(B) + P(\{X=5\} | \{C\}) P(C)}$ (1)
 
Considerando che l'urna $C$ non contiene palline numerate con $5$ la (1) diventa
 
$P(\{A\} | \{X=5\}) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$
 
FINE