Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
  • Visto: 15955
  • Data: 14/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Calcolo delle probabilità - schema di Bernoulli e teorema di Bayes

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Si consideri l'esperimento consistente nel lancio contemporaneo di due dadi. Uno di essi è un dado non truccato, ovvero ciascuna faccia ha la stessa probabilità di manifestarsi. L'altro dado, invece è truccato e la probabilità $P(i)$ associato all'esito dell'$i$-esima vale:

 

$P(i) = \{(\frac{1}{10}, "se " i = 1"," 2"," \ldots "," 5),(\frac{1}{2}, "se " i = 6):}$

 

a) Calcolare la probabilità che la somma dei numeri risultanti dall'esperimento sia pari a $10$.

 

b) Si considerino $n$ ripetizioni indipendenti dell'esperimento precedente e sia $X$ una variabile aleatoria corrispondente al numero di volte che il lancio ha dato esito pari a $10$. Scrivere l'espressione della densità di probabilità $f_{X}(k)$ della variabile aleatoria $X$.

 

c) Scelto uno dei due dadi a caso e lanciato, calcolare la probabilità che esso sia il dado truccato noto che l'esito del lancio è stato $6$.

 


Denotando con $\omega_1$ l'esito del lancio del primo dado, con $\omega_2$ l'esito del lancio del secondo dado, quello truccato, e con $S$ la somma dei punteggi

 

$P(S=10) = P(\{\omega_1 = 4\} \cap \{\omega_2 = 6\}) + P(\{\omega_1 = 5\} \cap \{\omega_2 = 5\}) + P(\{\omega_1 = 6\} \cap \{\omega_2 = 4\})$ (1)

 

Considerando che i lanci dei due dadi sono eventi indipendenti, (1) diventa

 

$P(S = 10) =   P(\{\omega_1 = 4\}) P(\{\omega_2 = 6\}) + P(\{\omega_1 = 5\}) P(\{\omega_2 = 5\}) + P(\{\omega_1 = 6\}) P(\{\omega_2 = 4\}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{10} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{10} = \frac{7}{60}$ (2)

 

Dato che $X$ è una variabile aleatorai discreta, la sua densità di probabilità vale

 

$f_{X}(k) = P(X = k)$

 

La probabilità che la somma dei punteggi ottenuti con un lancio sia $10$ vale $\frac{7}{60} $, come calcolato precedentemente, quindi la probabilità che, su $n$ lanci, si ottenga come somma $10$ solo nei primi $k$ lanci vale

 

$(\frac{7}{60})^k (1 - \frac{7}{60})^{n - k}$ (2)

 

dato che ogni lancio è indipendente dall'altro. La probabilità che, su $n$ lanci, si ottenga come somma dei punteggi $10$ in $k$ lanci, è data dal prodotto di (2) e il numero di modi con cui si distribuiscono $k$ successi su $n$ tentativi, ovvero $((n),(k))$. Pertanto, la densità di probabilità della variabile aleatoria $X$ vale

 

$f_{X}(k) = \{( ((n),(k)) (\frac{7}{60})^k (1 - \frac{7}{60})^{n - k}, "se " k = 1"," 2"," \ldots "," n),(0, "altrimenti"):}$

 

Per risolvere il punto c), indichiamo con $"TR"$ l'evento "è stato scelto il dado truccato", con $"NTR"$ l'evento "è stato scelto il dado non truccato", e con $6$ l'evento è uscito $6$, allora

 

$P("TR " | " 6") = \frac{P("6 " \cap " TR")}{P(6)} = \frac{P("6 " | " TR") P("TR")}{P("6 " \cap " TR") + P("6 " \cap " NTR")} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{4} + P(6 | " NTR") P("NTR")} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{4}$

 

FINE