Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Una moneta e un dado non truccati vengono lanciati ripetutamente. Qual è la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6?

Definiamo due variabili aleatorie

$X = "numero del lancio in cui la moneta dà testa per la prima volta"$

$Y = "numero del lancio in cui il dado dà sei per la prima volta"$

Le due variabili aleatorie seguono queste densità di probabilità:

$p_{X}(h) = \{(\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{h - 1}, "se h = 1, 2, 3, " \ldots),(0, "altrimenti"):}$

$p_{Y}(k) = \{(\frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{k - 1}, "se k = 1, 2, 3, " \ldots),(0, "altrimenti"):}$

Il lancio del dado e della moneta sono eventi indipendenti, quindi anche $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti, pertanto al densità di probabilità congiunta vale

$p_{X,Y}(h,k) = \{((\frac{1}{2})^{h} \frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{k-1}, "se h, k = 1, 2, 3, "\ldots),(0, "altrimenti"):}$ 

Calcolare la probabilità richiesta equivale a calcolare

$P(X < Y) = \sum_{(i,j) \in A} p_{X,Y}(i,j)$ (1)

dove $A = \{(i,j) \in \mathbb{N}^{2}: i<j, i,j \ne 0\}$. La (1) si può scrivere come

$\sum_{j=1}^{+\infty} \sum_{i=1}^{j-1} (\frac{1}{6}) (\frac{5}{6})^{j-1} (\frac{1}{2})^{i} = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j-1} \sum_{i=1}^{j-1} (\frac{1}{2})^{i}$ (2)

Ricordando che

$\sum_{k=1}^{N} q^{k} = \frac{1 - q^{N+1}}{1 - q} - 1$

la (2) diventa

$\frac{1}{6}  \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j - 1} [\frac{1 - (\frac{1}{2})^j}{1 - \frac{1}{2}} - 1] = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty} (\frac{5}{6})^{j-1} (2 - (\frac{1}{2})^{j-1} - 1) = \frac{1}{6} \sum_{j=1}^{+\infty}[(\frac{5}{6})^{j-1} - (\frac{5}{12})^{j-1}]$ (3)

Ponendo $j - 1 = m$ la (3) diventa

$\frac{1}{6} \sum_{m=0}^{+\infty} [(\frac{5}{6})^{m} - (\frac{5}{12})^{m}]$ (4)

Osservando che

$\sum_{k=0}^{+\infty} q^{k} = \frac{1}{1 - q}$ se $|q| < 1$

ed osservando che $\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{6})^m$ e $\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{12})^m$ sono entrambe convergenti, la (4) equivale a

$\frac{1}{6} [\sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{6})^m - \sum_{m=0}^{+\infty} (\frac{5}{12})^m] = \frac{1}{6}(\frac{1}{1 - \frac{5}{6}} - \frac{1}{1 - \frac{5}{12}}) = \frac{1}{6} (6 - \frac{12}{7}) = \frac{1}{6} \frac{30}{7} = \frac{5}{7}$

Pertanto, la probabilità che la moneta dia testa prima che il dado dia 6 è $\frac{5}{7}$.

FINE