Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Siano $X$ e $Y$ due variabili aleatorie scalari aventi densità di probabilità congiunta $f_{X,Y} (\xi, \eta)$. Calcolare la densità di probabilità $f_{Z}(\zeta)$ della variabile aleatoria $Z = X - Y$.

$\bar{Z} = [(Z),(X)] \quad \quad \bar{X} = [(X),(Y)]$

La densità di probabilità di $\bar{X}$  equivale alla densità di probabilità congiunta di $X$ e $Y$, così come la densità di probabilità di $\bar{Z}$ equivale alla densità di probabilità congiunta di $Z$ e $X$.

La variabile aleatoria vettoriale $\bar{Z}$ può essere così espressa

$\bar{Z} = [(Z),(X)] = [(X - Y),(X)] = [(1, -1),(1, 0)] [(X),(Y)] = [(1, -1),(1, 0)] \bar{X} = g(\bar{X})$

dove $g(\cdot)$ è per l'appunto l'applicazione lineare rappresentata dalla matrice

$A =  [(1, -1),(1, 0)]$

Dette $\xi$, $\eta$, $\zeta$ le realizzazioni delle variabili aleatorie $X$, $Y$, $Z$ rispettivamente, e posto

$\bar{\zeta} = [(\zeta),(\xi)] \quad \quad \bar{\xi} = [(\xi),(\eta)]$

allora $\bar{\zeta}$ e $\bar{\xi}$ sono le realizzazioni di $\bar{Z}$ e $\bar{X}$ rispettivamente, e la densità di probabilità di $\bar{Z}$ vale

$f_{\bar{Z}} (\bar{\zeta}) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{\bar{X}}(\bar{\xi_i})}{|\det J(\bar{\xi_i})|}$

dove

$g(\bar{\xi_1}) = g(\bar{\xi_2}) = \ldots = g(\bar{\xi_m}) = \zeta$

e $J$ è la matrice Jacobiana di $g(\cdot)$, e vale

$[(\frac{\partial}{\partial \xi} (\xi - \eta), \frac{\partial}{\partial \eta} (\xi - \eta)),(\frac{\partial}{\partial \xi} \xi, \frac{\partial}{\partial \eta} \xi)] = [(1, -1),(1, 0)]$

pertanto $\det J = 1$. Dato che $A$ è una matrice invertibile, allora c'è un solo $\bar{\xi_i$ da determinare

$g(\bar{\xi_1}) = \bar{\zeta} \quad \implies \quad \bar{\xi_1} = A^{-1} \bar{\zeta} = [(0, 1),(-1, 1)] [(\zeta),(\xi)] = [(\xi),(\xi - \zeta)]$

quindi

$f_{\bar{Z}}(\bar{\zeta}) = f_{\bar{X}} (\bar{\xi_1})$

ovvero

$f_{Z, X}(\zeta, \xi) = f_{X,Y}(\xi, \xi - \zeta)$

Dato che

$f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{Z,X}(\zeta, \xi) d \xi$

allora

$f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X,Y}(\xi, \xi - \zeta) d \xi$

Nel caso particolare in cui $X$ e $Y$ siano due variabili aleatorie indipendenti vale

$f_{Z}(\zeta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(\xi) f_{Y}(\zeta - \xi) d \zi$

FINE