Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
  • Visto: 7506
  • Data: 25/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Densità di probabilità, media, varianza (2)

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Sia $X$ una variabile aleatoria avente densità di probabilità

 

$f_{X}(\xi) = \{(\frac{1}{2}(\xi - 1), "se " \xi \in [1,3]),(0, "altrimenti"):}$

 

a) Calcolare il valor medio $E[X]$ e la varianza $"Var"(X)$ di $X$.

 

Si consideri, ora, una seconda varaibile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo $[0,2]$, e sia $Z = X + Y$. Nell'ipotesi che $X$ e $Y$ siano indipendenti:

 

b) Calcolare il valor medio $E[Z]$ e la varianza $"Var"(Z)$ di $Z$.

 


Il valor medio di $X$ risulta  pari a

 

$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi f_{X}(\xi) d \xi = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} \xi^2 - \frac{1}{2} \xi) d \xi = \frac{1}{6} [\xi^3]_{1}^{3} - \frac{1}{4} [\xi^2]_{1}^{3} = \frac{26}{6} - \frac{8}{4} = \frac{13}{3} - 2 = \frac{7}{3}$

 

Il valor quadratico medio invece è

 

$E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^2 f_{X}(\xi) d \xi = \int_{1}^{3} (\frac{1}{2} \xi^3 - \frac{1}{2}\xi^2) d \xi = \frac{1}{8} [\xi^4]_{1}^{3} - \frac{1}{6} [\xi^3]_{1}^{3} = \frac{80}{8} - \frac{26}{6} = 10 - \frac{13}{3} = \frac{17}{3}$

 

La varianza di $X$ quindi vale

 

$"Var"(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \frac{17}{3} - \frac{49}{9} = \frac{51}{9} - \frac{49}{9} = \frac{2}{9}$

 

La densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{1}{2}, "se " \eta \in [0,2]),(0, "altrimenti"):}$

 

Il valor medio di $Y$ è

 

$E[Y] = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{0}^{2} \frac{\eta}{2} d \eta = \frac{1}{4} [\eta^2]_{0}^{2} = 1$

 

Invece il valor quadratico medio è pari a

 

$E[Y^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} \eta^2 f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{0}^{2} \frac{\eta^2}{2} d \eta = \frac{1}{6} [\eta^3]_{0}^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

 

Sfruttando la linearità del valore atteso, si ottiene

 

$E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = \frac{7}{3} + 1 = \frac{10}{3}$

 

$"Var"(Z) = E[Z^2] - E[Z]^2 = E[Z^2] - \frac{100}{9}$

 

Dato che $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti allora sono anche scorrelate, ovvero $E[XY] = E[X] E[Y]$, quindi

 

$E[Z^2] = E[X^2 + 2 X Y + Y^2] = E[X^2] + 2 E [XY] + E[Y^2] =  E[X^2] + 2 E [X]E[Y] + E[Y^2] = \frac{17}{3} + 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot 1 + \frac{4}{3} = \frac{17}{3} + \frac{14}{3} + \frac{4}{3} = \frac{35}{3}$

 

Quindi la varianza di $Z$ vale

 

$"Var"(Z) = E[Z^2] - E[Z]^2 = \frac{35}{3} - \frac{100}{9} = \frac{105}{9} - \frac{100}{9} = \frac{5}{9}$

 

FINE