Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
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  • Data: 11/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Esercizio sulle densità di probabilità

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Si consideri la funzione

$f_{X}(x) = \{(\gamma^2 - \frac{16}{9}x^2, "se " -\frac{3}{4} \gamma \le x < \frac{3}{4} \gamma),(0, "altrimenti"):}$

in cui $\gamma$ è un numero reale positivo.

a) Determinare il valore $\gamma$ per cui $f_{X}(x)$ rappresenta effettivamente una funzione di densità di probabilità.

b) Sia $X$ una variabile aleatoria con densità di probabilità $f_{X}(x)$. Calcolare il valor medio $m_{X}$ e la varianza
$\sigma_{X}^{2}$ di $X$.

$f_{X}(x)$ rappresenta una funzione di densità di probabilità se e solo se
 
$f_{X}(x) \ge 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}$ (1)

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = 1$ (2)

Per $-\frac{3}{4} \gamma \le x < \frac{3}{4} \gamma$ risulta $\gamma^2 - \frac{16}{9}x^2 \ge 0$, quindi la (1) è sempre verificata per ogni $\gamma \in \mathbb{R}$, pertanto non resta che studiare la condizione (2).

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{X}(x) dx = \int_{-\frac{3}{4}\gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} (\gamma^2 - \frac{16}{9}x^2) dx = \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \gamma^2 dx - \int_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} \frac{16}{9} x^2 dx =$

$= \gamma^2 (\frac{3}{4} \gamma + \frac{3}{4} \gamma) - \frac{16}{9}\cdot \frac{1}{3} [x^3]_{-\frac{3}{4} \gamma}^{\frac{3}{4} \gamma} =\frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{16}{27} (\frac{27}{64} \gamma^3 +\frac{27}{64} \gamma^3 ) =$

$= \frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{16}{27} \cdot \frac{27}{32} \gamma^3= \frac{3}{2} \gamma^3 - \frac{1}{2} \gamma^3 = \gamma^3$

 Imponendo la condizione (2) si trova:

 $\gamma^3 = 1 \implies \gamma = 1$

Quindi

 $f_{X}(x) = \{(1 - \frac{16}{9}x^2, "se " -\frac{3}{4}  \le x < \frac{3}{4}),(0, "altrimenti"):}$

Se $X$ è una variabile aleatoria con questa densità di probabilità, la sua media vale

$m_{X} = \int_{-\infty}^{+\infty} x f_{X}(x) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x - \frac{16}{9} x^3) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x dx -\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^3 dx =$

$= \frac{1}{2} (\frac{9}{16} - \frac{9}{16}) - \frac{16}{9} \cdot\frac{1}{4} (\frac{81}{256} - \frac{81}{256}) = 0$

Dunque $X$ è una variabile aleatoria a media nulla. Indicando con $E[\cdot]$ l'operatore valore atteso, la varianza di $X$ vale

$\sigma_{X}^{2} = E[(X - m_{X})^{2}] = E[X^2 - 2X m_{X} + m_{X}^2]$

Ricordando che $m_{X} = 0$ risulta

$\sigma_{X}^{2} = E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f_{X}(x) dx =\int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} (x^2 - \frac{16}{9} x^4 ) dx =$

$= \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} x^2 dx - \int_{-\frac{3}{4}}^{\frac{3}{4}} \frac{16}{9} x^4 dx = \frac{1}{3} (\frac{27}{64} + \frac{27}{64}) - \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \frac{243}{1024} + \frac{243}{1024} = $

$= \frac{9}{32} - \frac{16}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{243}{512} = \frac{9}{32} - \frac{27}{160} = \frac{45}{160} - \frac{27}{160} = \frac{18}{160} = \frac{9}{80}$

Quindi $\sigma_{X}^{2} = \frac{9}{80}$.