Probabilità e Statistica

  • Materia: Probabilità e Statistica
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  • Data: 12/06/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Variabili aleatorie - calcolo di leggi

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Si consideri una variabile aleatoria $X$ uniformemente distribuita nell'intervallo $[5, 10]$. Calcolare la densità di probabilità della variabile aleatoria $Y = \frac{1}{X}$.

 


La densità di probabilità di $X$ vale

 

$f_{X}(\xi) = \{(\frac{1}{5}, "se " 5 \le \xi \le 10),(0, "altrimenti"):}$ 

 

La densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(\eta) = \sum_{i=1}^{m} \frac{f_{X}(\xi_i)}{|g'(\xi_i)|}$

 

dove $Y = g(X) = \frac{1}{X}$, $g(\xi_1) = g(\xi_2) = \ldots = g(\xi_m) = \eta$ e $g'(x) = \frac{d}{dx} g(x)$.

In questo caso risulta $\eta = \frac{1}{\xi}$, da cui $\xi = \frac{1}{\eta}$, per cui

 

$5 \le \xi \le 10 \implies \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}$

 

ed inoltre $g'(x) = - \frac{1}{x^2}$.

Se $\eta < \frac{1}{10} \quad \vee \quad \eta > \frac{1}{5}$ allora $f_{Y} (\eta) = 0$, dato che in tale intervallo la densità di probabilità di $X$ è nulla.

Se invece $\frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}$ risulta

 

$f_{Y}(\eta) = \frac{f_X(\frac{1}{\eta})}{|g'(\frac{1}{\eta})|} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{\frac{1}{\eta^2}}} = \frac{1}{5 \eta^2}$

 

Di conseguenza la densità di probabilità di $Y$ vale

 

$f_{Y}(\eta) = \{(\frac{1}{5 \eta^2}, "se " \frac{1}{10} \le \eta \le \frac{1}{5}),(0, "altrimenti"):}$

 

Si vede che tale funzione è sempre non negativa per ogni $\eta \in \mathbb{R}$. inoltre

 

$\int_{-\infty}^{+\infty} f_{Y}(\eta) d \eta = \int_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} \frac{1}{5 \eta^2} d \eta = -\frac{1}{5} [\frac{1}{\eta}]_{\frac{1}{10}}^{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{5} (5 - 10) = -\frac{1}{5} (-5) = 1$

FINE