Problemi di max-min

  • Materia: Problemi di max-min
  • Visto: 5213
  • Data: 23/01/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

Nel triangolo isoscele $ABC$ la base $BC$ misura $2b$ e la misura comune dei lati congruenti $AB$...

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

{etRating 4}Nel triangolo isoscele $ABC$ la base $BC$ misura $2b$ e la misura comune dei lati congruenti $AB$, $AC$ è $l$. Si considerino i punti $M$, $P$, $Q$ rispettivamente sui lati $AB$, $BC$ e $CA$ in modo che i segmenti $AM$, $BP$ e $CQ$ siano congruenti e si determini la loro misura in modo che sia minima l'area del triangolo $MPQ$.


 

Sia $beta $ l'ampiezza degli angoli alla base e $ bar(AM)=x$
Risulta che:
$cos beta=b/L$,

$sin beta=1/L*sqrt(L^2-b^2)$,

$sin(pi-2beta)=sin2beta=2sinbetacosbeta=(2b)/(L^2)*sqrt(L^2-b^2)$,

$h("altezza relativa a BC")=sqrt(L^2-b^2)$


Ricordando che l'area di un triangolo si può avere anche con la formula $1/2*a*b *sin (gamma)$,segue che:
$A_s(MPQ)=bsqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(L-x)*(2b)/(L^2)*sqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(L-x)*1/L*sqrt(L^2-b^2)-1/2*x*(2b-x)*1/L*sqrt(L^2-b^2$
Facendo qualche calcolo l'area di MPQ diventa :
(1) $A_s(MPQ)=(sqrt(L^2-b^2))/(2L^2)[2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b]$


Prescindendo dalla costante positiva $sqrt(L^2-b^2)/(2L^2)$ la funzione da minimizzare è :
$f(x)=2(L+b)x^2-L(L+4b)x+2L^2b$
con le condizioni 
(2) $0<x<L,0<x<2b,L>b$
Il grafico di f(x) è una parabola con asse parallelo all'asse y e concava nella direzione positiva
di quest'asse e pertanto ,come è ben noto,il minimo si raggiunge nel vertice ovvero per $x=-b/(2a)$
Nel caso nostro  si ha  $x=L(L+4b)/(4L+4b)$
Veniamo ora alla discussione sui limiti indicati in (2)

La prima condizione è certamente verificata essendo:
$L(L+4b)/(4L+4b)<L(4L+4b)/(4L+4b)=L$
Per la seconda deve essere:$L(L+4b)/(4L+4b)<2b$ da cui $8b^2+4Lb-L^2>0$ che è soddisfatta per:
$L/4(sqrt3-1)<b<L$
Possiamo concludere quindi che il problema non ha soluzioni ( a meno che non si consideri P  fuori dal lato
BC ) per $0<b<=L/4(sqrt3-1) $ mentre ne ha ovviamente una ( ed una soLa) ) per $L/4(sqrt3-1)<b<L$

FINE