Rettangolo di area massima

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Rettangolo di area massima

Materia: Problemi di max-min Visualizzato: 6224 volte Scaricato: 0 volte Data: 01/08/2007

Rettangolo di area massima

Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Fra tutti i rettangoli di perimetro $2p$ ($p > 0$) determinare quello di area massma.

Il semiperimetro del rettangolo vale $p$, quindi chiamando con $x$ la base ($0 \le x \le p$) si deduce che l'altezza vale $p - x$. Da notare che se $x = 0 \vee x = p$ il rettangolo degenera in un segmento. La funzione che rappresenta l'area al variare di $x$ è

$f: [0, p] \to \mathbb{R}: x \mapsto x(p-x)$

Per studiare il massimo assoluto di tale funzione si può calcolare la derivata prima.

$f'(x) = p - 2x$

La derivata prima si azzera in $x = \frac{p}{2}$, e dallo studio del segno della derivata prima si nota che in tale punto c'è un massimo.

Dato che $f(0) = f(p) = 0$, e $f(\frac{p}{2}) = \frac{p^2}{4} > 0$, allora in $x = \frac{p}{2}$ la $f$ assume il massimo assoluto.

Quindi il rettangolo di area massima avente perimetro $2p$ è quello che ha base $\frac{p}{2}$ e altezza $\frac{p}{2}$, ovvero il quadrato di perimetro $2p$.

FINE