Descrizione: esercizio svolto o teoria

A cura di: Nicola Vitale

Si dimostri che tra tutti i cilindri inscritti in un cono circolare retto, ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte dell'altezza del cono.

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${(h = \text{altezza cono}), (r = \text{raggio cono}):}$

${(x = \text{altezza cilindro}),(r' = \text{raggio cilindro}),(0 < x <h):}$

$V = \text{volume cilindro}$

Dalla similitudine dei triangoli $APB$  e $AOV$ si ha

$r: h = (r- r') : x \rightarrow r - r' = \frac{r}{h} x \rightarrow r' = r \cdot (1 - \frac{x}{h})$

$V = \pi r^2 (1 - \frac{x}{h})^2 \cdot x = \pi r^2 \cdot (1 - \frac{2x}{h} + \frac{x^2}{h^2}) \cdot x = \pi \cdot r^2 \cdot (x - \frac{2x^2}{h} + \frac{x^3}{h^2})$

$V' = \pi r^2 \cdot (1 - \frac{4}{h} x + \frac{3}{h} x^2) = 0 \rightarrow 3x^2 - 4hx + h = 0$

$x_{1,2} = \frac{2h \pm \sqrt{4h^2 - 3h^2}}{3} = \frac{2h \pm h}{3} \rightarrow {(h\ \ \text{da scartare perché } x \ne h),(\frac{1}{3} h):}$

$x = \frac{1}{3} h$ è punto di massimo per $V$, volume del cilindro.