Radicali

  • Materia: Radicali
  • Visto: 2259
  • Data: 10/07/2011
  • Di: Redazione StudentVille.it

$sqrt((root(4)(7-4sqrt(3))*sqrt(2-sqrt(3)))/(sqrt(5+2sqrt(6))*sqrt(5-2sqrt(6))))=$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Francesca Ricci

$sqrt((root(4)(7-4sqrt(3))*sqrt(2-sqrt(3)))/(sqrt(5+2sqrt(6))* sqrt(5-2sqrt(6))))=$

Svolgiamo i conti al numeratore e al denominatore: al numeratore riduciamo i due radicali allo stesso indice, mentre al denominatore portiamo tutto sotto la stessa radice e svolgiamo la moltiplicazione:

$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(2-sqrt(3))^2)/(sqrt((5+2sqrt(6))* (5-2sqrt(6)))))=$

Al numeratore si svolge il quadrato del binomio, al denominatore si risolve la moltoplicazione come somma per differenza (il quadrato del primo meno il quadrato del secondo)

$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(4+3-4sqrt(3)))/(sqrt(25-24)))=$

$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3)))/(sqrt(1)))=$

$sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3))))=$

Possiamo scrivere $(7-4sqrt(3))*(7-4sqrt(3))$ come $(7-4sqrt(3))^2$ e semplificarlo con la radice quarta:

 $sqrt(root(4)((7-4sqrt(3))^2))=$

$sqrt(sqrt(7-4sqrt(3)))=$

A questo punto, invece di ridurre i radicali allo stesso indice, per scomporre applichiamo la regola dei redicali doppi:

$sqrt(a+sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)+sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$ $sqrt(a-sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)-sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$

 $sqrt(sqrt(7-sqrt(48)))=$

$sqrt(sqrt((7+sqrt(49-48))/2)-sqrt((7-sqrt(49-48))/2))=$

 $sqrt(sqrt((7+sqrt(1))/2)-sqrt((7-sqrt(1))/2))=$

$sqrt(sqrt((7+1)/2)-sqrt((7-1)/2))=$

$sqrt(sqrt(8/2)-sqrt(6/2))=$

 $sqrt(sqrt(4)-sqrt(3))=$

 $sqrt(2-sqrt(3))=$

Si applica ancora la regola dei ragicali doppi:

 $sqrt((2+sqrt(4-3))/2)-sqrt((2-sqrt(4-3))/2)=$

$sqrt((2+sqrt(1))/2)-sqrt((2-sqrt(1))/2)=$

 $sqrt((2+1)/2)-sqrt((2-1)/2)=$

$sqrt(3/2)-sqrt(1/2)=$

Possiamo scomporre i radicali $sqrt(3/2)$ e $sqrt(1/2)$ come

$sqrt(3)/(sqrt(2))$ e $sqrt(1)/(sqrt(2))$, quindi

 $sqrt(3)/(sqrt(2))-sqrt(1)/(sqrt(2))=$

$sqrt(3)/(sqrt(2))-1/(sqrt(2))=$

 Sommando i due radicali otteniamo

$(sqrt(3)-1)/sqrt(2)=$

poi si razionalizza

$(sqrt(3)-1)/sqrt(2)*sqrt(2)/sqrt(2)=$

$((sqrt(3)-1)*sqrt(2))/(sqrt(2)*sqrt(2))=$

$(sqrt(6)-sqrt(2))/2$