Serie

  • Materia: Serie
  • Visto: 711
  • Data: 23/10/2009
  • Di: Redazione StudentVille.it

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.........$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Stefano Sannella

Calcolare il valore della seguente somma.

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.........$

 


Mettiamo la radice di 2 in evidenza:

$1/sqrt(2)+(sqrt(2))/2+(sqrt(2))/4+(sqrt(2))/8+(sqrt(2))/16+.... = sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....)$

Per quanto riguarda la parentesi abbiamo:

$1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .... = -1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...$

quindi, sapendo che (progressione geometrica)

$1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2$

troviamo subito

$-1/2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = -1/2 + 2 = 3/2$ ;

abbiamo dunque che

$sqrt(2) * (1/2 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ....) = sqrt(2) * (3/2) = (3 sqrt(2))/2$

 

FINE