Serie

  • Materia: Serie
  • Visto: 6033
  • Data: 05/09/2007
  • Di: Redazione StudentVille.it

Studiare al convergenza semplice e assoluta $\\sum_{n=1}^{+\\infty} (-1)^n \\log(1 + \\frac{1}{n})$

esercizio svolto o teoria

A cura di: Gianni Sammito

Studiare al convergenza semplice e assoluta della seguente serie a termini di segno alterno

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \log(1 + \frac{1}{n})$

 


Dato che $1 + \frac{1}{n} > 1$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$ allora $\log(1 + \frac{1}{n}) > 0$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, pertanto la serie è effettivamente a termini di segno alterno.

 

Visto che

 

$1 + \frac{1}{n + 1} < 1 + \frac{1}{n}$ $\forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$

 

allora la successione $\{1 + \frac{1}{n}\}_{n \ge 1}$ è monotona decrescente, pertanto anche la successione $\{\log(1 + \frac{1}{n})\}_{n \ge 1}$ è monotona decrescente, visto che il logaritmo in base $e$ è una funzione monotona crescente. Pertanto la serie proposta converge semplicemente per il criterio di Leibniz.

Per studiare la convergenza assoluta occorre considerare la serie

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} |(-1)^n \log(1 + \frac{1}{n})| = \sum_{n=1}^{+\infty} |\log(1 + \frac{1}{n})| = \sum_{n=1}^{+\infty} \log(1 + \frac{1}{n})$

 

per quanto detto prima sulla positività di $\log(1 + \frac{1}{n})$ quando $n=1,2,\ldots$.

Osservando che

 

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\log(1 + \frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = 1$

 

si nota che

 

$\log(1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n}$

 

Ma

 

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$

 

diverge, perché è una serie armonica con esponente pari a $1$, pertanto la serie proposta non converge assolutamente per il criterio del confronto asintotico.

 

FINE